[论文解读] On Modular Forms and the Inverse Galois Problem

Luís Dieulefait, Gabor Wiese|ArXiv.org|May 8, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文通过构造具有可除性二面体素数（tamely dihedral primes）且排除非平凡内自同构的模形式族，解决了逆伽罗瓦问题的新情形，使得残余伽罗瓦表示的射影像同构于 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 或 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$，其中 $\ell$ 为正密度的素数。关键结果表明，对任意固定的 $n$，此类群作为 $\mathbb{Q}$ 上的伽罗瓦群出现的素数 $\ell$ 的集合具有正密度，从而推进了逆伽罗瓦问题的横向方向。

ABSTRACT

In this article new cases of the Inverse Galois Problem are established. The main result is that for a fixed integer n, there is a positive density set of primes p such that PSL_2(F_{p^n}) occurs as the Galois group of some finite extension of the rational numbers. These groups are obtained as projective images of residual modular Galois representations. Moreover, families of modular forms are constructed such that the images of all their residual Galois representations are as large as a priori possible. Both results essentially use Khare's and Wintenberger's notion of good-dihedral primes. Particular care is taken in order to exclude nontrivial inner twists.

研究动机与目标

• 将逆伽罗瓦问题扩展至新一类有限群 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 和 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 的形式。
• 证明对任意固定的 $n$，使得 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 作为 $\mathbb{Q}$ 上伽罗瓦群出现的素数 $\ell$ 的集合具有正密度。
• 构造无非平凡内自同构且无复乘的新开形式，以确保射影像大小最大化。
• 应用良二面体（good-dihedral）素数的理论，以控制伽罗瓦表示的像并避免异常素数。

提出的方法

• 在 $S_2(\Gamma_0(Nq^2))$ 或 $S_3(\Gamma_1(Nq^2), \chi)$ 中构造新开形式，使其在素数 $q$ 处具有可除性二面体行为，以确保射影像较大。
• 利用Khare与Wintenberger引入的良二面体素数理论，控制模 $\ell$ 伽罗瓦表示的像。
• 通过选择适当的水平和特征（特别是对权3形式使用奇狄利克雷特征），确保无非平凡内自同构和无复乘。
• 应用Ribet的大像定理，以保证对几乎所有素数 $\ell$，残余伽罗瓦表示的射影像为 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 或 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$。
• 利用类域论及傅里叶系数域 $\mathbb{Q}_f$ 中存在次数为 $n$ 的循环扩张的事实，确保存在满足剩余次数为 $n$ 的素数 $\ell$。
• 利用当 $N \equiv 1 \mod 2n$ 时，$\mathbb{Q}_f$ 包含 $\mathbb{Q}(\zeta_N)$ 的最大实子域这一事实，从而实现次数为 $n$ 的循环扩张的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 对固定的 $n$，群 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 是否在 $\mathbb{Q}$ 上作为伽罗瓦群，对正密度的素数 $\ell$ 出现？
• RQ2 能否构造模形式，使其残余伽罗瓦表示的射影像恰好为 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 或 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$？
• RQ3 如何确保构造中使用的新开形式无非平凡内自同构且非复乘形式？
• RQ4 良二面体素数在控制伽罗瓦表示像并实现逆伽罗瓦结果中起到何种作用？

主要发现

• 对任意固定的整数 $n$，存在一个正密度的素数集合 $\ell$，使得 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 作为 $\mathbb{Q}$ 上的伽罗瓦群出现，其分歧点至多为 $\ell$、$\infty$ 以及根据 $n$ 的奇偶性最多三个其他素数。
• 当 $n$ 为奇数时，存在一个正密度的素数集合 $\ell$，使得 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ 作为 $\mathbb{Q}$ 上的伽罗瓦群出现，其分歧点至多为 $\ell$、$\infty$ 以及两个其他素数。
• 该构造确保所用新开形式无非平凡内自同构且非复乘形式，这对实现最大射影像大小至关重要。
• 由于 $\mathbb{F}_{\ell^n}$ 中行列式行为的差异，新开形式关联的残余伽罗瓦表示的射影像在 $n$ 为偶数时为 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$，在 $n$ 为奇数时为 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$。
• 当 $N \equiv 1 \mod 2n$ 时，$\mathbb{Q}_f$ 中存在次数为 $n$ 的循环扩张，从而可应用类域论以找到合适的素数 $\ell$。
• 该结果对所有 $n$ 均一致成立，通过使用具有可除性二面体素数的新开形式族实现，此类 $\ell$ 的密度为正，尽管未计算出精确密度。