[论文解读] On Moebius and conformal maps between boundaries of CAT(-1) spaces

Kingshook Biswas|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用 10

一句话总结

本文在CAT(-1)空间边界上的Möbius与共形映射之间建立了深层对应关系，并将其与测地流的动力学联系起来，引入积分Schwarzian以衡量对翻转等变性的偏离程度。证明了在单连通负曲率流形之间的Möbius映射可延拓为拟等距映射，并通过动力类型——椭圆型、抛物型与双曲型——对Möbius自映射进行分类，为带标记的长度谱提供了动力分类与刚性结果。

ABSTRACT

We consider Moebius and conformal homeomorphisms $f : \partial X o \partial Y$ between boundaries of CAT(-1) spaces $X,Y$ equipped with visual metrics. A conformal map $f$ induces a topological conjugacy of the geodesic flows of $X$ and $Y$, which is flip-equivariant if $f$ is Moebius. We define a function $S(f) : \partial ^2 X o \mathbb{R}$, the {\it integrated Schwarzian} of $f$, which measures the deviation of the topological conjugacy from being flip-equivariant, in particular vanishing if $f$ is Moebius. Conversely if $X,Y$ are simply connected complete manifolds with pinched negative sectional curvatures, then $f$ is Moebius on any open set $U \subset \partial X$ such that $S(f)$ vanishes on $\partial^2 U$. Indeed we obtain an explicit formula for the cross-ratio distortion in terms of the integrated Schwarzian. For such manifolds, we show that there is a Moebius homeomorphism $f : \partial X o \partial Y$ if and only if there is a topological conjugacy of geodesic flows $ϕ: T^1 X o T^1 Y$ with a certain uniform continuity property along geodesics. We show that if $X,Y$ are proper, geodesically complete CAT(-1) spaces then any Moebius homeomorphism $f$ extends to a $(1, \log 2)$-quasi-isometry with image $\frac{1}{2}\log 2$-dense in $Y$. We prove that if $X,Y$ are in addition metric trees then $f$ extends to a surjective isometry. For $C^1$ conformal maps $f : \partial X o \partial Y$ with bounded integrated Schwarzian and with domain $X$ a simply connected negatively curved manifold with a lower bound on sectional curvature, similar arguments show that $f$ extends to a $(1, \log 2 + 12||S(f)||_{\infty})$ quasi-isometry. We also obtain a dynamical classification of Moebius self-maps $f : \partial X o \partial X$ into three types, elliptic, parabolic and hyperbolic.

研究动机与目标

• 建立CAT(-1)空间边界上Möbius/共形映射与测地流拓扑共轭之间的对应关系。
• 定义并分析积分Schwarzian S(f)，作为测地共轭中对翻转等变性偏离程度的度量。
• 证明在单连通负曲率流形之间的Möbius映射可延拓为拟等距映射，并给出明确的畸变界。
• 基于动力行为，将边界上的Möbius自映射分类为椭圆型、抛物型与双曲型。
• 证明对于完备、测地完备的CAT(-1)空间，Möbius映射可延拓为(1, log 2)-拟等距映射，且像在目标空间中为log 2/2-稠密。

提出的方法

• 引入积分Schwarzian S(f): ∂²X → ℝ，以量化共形映射f偏离Möbius映射的程度，且S(f) ≡ 0当且仅当f为Möbius映射。
• 利用CAT(-1)空间边界上的视觉度量，定义交比不变性与Möbius等价性。
• 构造边界∂X上Möbius等价度量的集合M(∂X)，并将X等距嵌入M(∂X)以分析延拓性质。
• 应用统一拟等距技术，证明Möbius映射可延拓为(1, log 2)-拟等距映射，且像在Y中为log 2/2-稠密。
• 利用水平面距离与共形映射的导数估计，分析迭代收敛性并分类动力类型。
• 通过矛盾论证，结合统一拟测地线与迭代映射的有界距离性质，对Möbius自映射的动力行为进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，CAT(-1)空间边界之间的共形映射可延拓为底层空间的拟等距映射？
• RQ2 积分Schwarzian S(f)如何度量共形映射偏离Möbius映射的程度？
• RQ3 在负曲率流形的背景下，测地流共轭与边界上Möbius映射之间存在何种精确关系？
• RQ4 CAT(-1)空间边界上的Möbius自映射能否基于动力行为被分类为椭圆型、抛物型与双曲型？
• RQ5 带标记的长度谱在多大程度上决定了闭合负曲率流形的度量？这与无穷远处的Möbius结构有何关联？

主要发现

• 共形映射f: ∂X → ∂Y诱导测地流的拓扑共轭，该共轭为翻转等变当且仅当f为Möbius映射。
• 积分Schwarzian S(f)恒为零当且仅当诱导共轭为翻转等变，且S(f)度量了该性质的偏离程度。
• 对于具有pinched负曲率的单连通完备流形，f在开集U ⊂ ∂X上为Möbius映射当且仅当在∂²U上S(f) ≡ 0。
• 任意Möbius同胚f: ∂X → ∂Y，其中X与Y为完备、测地完备的CAT(-1)空间，可延拓为(1, log 2)-拟等距映射，且像在Y中为(1/2)log 2-稠密。
• 若X与Y为度量树，则任意Möbius映射f: ∂X → ∂Y可延拓为满等距映射。
• 对于具有有界积分Schwarzian的C¹共形映射，f可延拓为(1, log 2 + 12||S(f)||∞)-拟等距映射。