[论文解读] On Moments of Folded and Doubly Truncated Multivariate Extended Skew-Normal Distributions

Christian E. Galarza, Larissa A. Matos+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2020

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文提出了高效递推关系，用于计算多元截断和折叠扩展偏态正态（ESN）分布的任意阶乘积矩，通过与多元正态分布的关联实现更快、更精确的计算。该方法在极端情况下显著优于现有方法，并已集成至 R 包 'MomTrunc' 中，便于在右删失或有界偏态数据的统计建模中实际应用。

ABSTRACT

This article develops recurrence relations for integrals that relate the density of multivariate extended skew-normal (ESN) distribution, including the well-known skew-normal (SN) distribution introduced by Azzalini and Dalla-Valle and the popular multivariate normal distribution. These recursions offer a fast computation of arbitrary order product moments of the multivariate truncated extended skew-normal and multivariate folded extended skew-normal distributions with the product moments as a byproduct. In addition to the recurrence approach, we realized that any arbitrary moment of the truncated multivariate extended skew-normal distribution can be computed using a corresponding moment of a truncated multivariate normal distribution, pointing the way to a faster algorithm since a less number of integrals is required for its computation which results much simpler to evaluate. Since there are several methods available to calculate the first two moments of a multivariate truncated normal distribution, we propose an optimized method that offers a better performance in terms of time and accuracy, in addition to consider extreme cases in which other methods fail. Finally, we present an application in finance where multivariate tail conditional expectation (MTCE) for SN distributed data is calculated using analytical expressions involving normal left-truncated moments. The R MomTrunc package provides these new efficient methods for practitioners. Supplementary files for this article are available online.

研究动机与目标

• 开发快速且精确的计算方法，用于计算多元截断和折叠扩展偏态正态（TESN/FESN）分布的任意阶乘积矩。
• 解决现有方法在多元 TESN 和 FESN 分布矩计算方面的缺失，尤其是在偏度和截断情况下的问题。
• 提升计算性能和鲁棒性，特别是在标准算法失效的极端情况下。
• 提供一个统一的计算框架，利用现有的多元截断正态（TN）分布方法。
• 将所提出的算法实现为易于使用的 R 包，以促进在统计实践中的广泛应用。

提出的方法

• 推导与多元 ESN 分布密度相关的积分的递推关系，以实现乘积矩的快速计算。
• 建立 TESN 分布矩与 TN 分布矩之间的直接联系，通过减少所需积分数量来降低计算复杂度。
• 利用已知的高效方法计算多元 TN 分布的一、二阶矩，作为 TESN 矩计算的基础。
• 实现一种优化算法，在极限或极端情况下仍能保持高精度和高速度，而其他方法可能失效。
• 将方法开发并集成至 R 包 'MomTrunc' 中，为用户提供高效工具，用于右删失或有界偏态数据的统计建模。
• 使用数值近似方法处理极限分布和极端参数值下的数值不稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何高效计算多元截断扩展偏态正态（TESN）分布的任意阶乘积矩？
• RQ2 TESN 分布矩与多元截断正态（TN）分布矩之间存在何种可被利用的关系，以实现更快计算？
• RQ3 所提出的方法能否处理现有算法失效的极端情况，如接近边界截断或高偏度？
• RQ4 与蒙特卡洛模拟和直接积分相比，基于递推的方法在速度和精度方面表现如何？
• RQ5 该框架是否可扩展以作为副产品计算折叠扩展偏态正态（FESN）分布的矩？

主要发现

• 所提出的基于递推的方法显著提升了 TESN 和 FESN 分布乘积矩的计算速度和精度，可计算任意阶矩。
• 对于三元折叠 ESN 分布，该方法比蒙特卡洛模拟快约 56 倍，比使用公式 (29) 和 (30) 的直接积分快 10 倍。
• 该方法在极端情况下优于现有流行的多元 TN 分布一、二阶矩计算方法，尤其在其他算法失效时表现更优。
• 该方法成功计算了极限正态情况下的矩，并通过策略性近似有效处理了数值不稳定性。
• 在 R 包 'MomTrunc' 中的实现为从业者和研究人员提供了稳健且易用的工具，适用于右删失或有界偏态数据的统计建模。
• 该框架推广了多元正态和偏态正态分布的先前结果，将其扩展至更广泛的扩展偏态正态分布类别。