[论文解读] On momentum operator in quantum field theory

Bozhidar Z. Iliev|ArXiv.org|Jun 2, 2002

Quantum Mechanics and Applications参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文研究了量子场论中动量算符的两种定义之间的区别：一种是通过能量-动量张量从诺特定理导出的正则（物理）动量算符，另一种是作为算符空间上时空平移生成元的平移（数学）动量算符。关键结果是，这两种算符通常不等价，数学动量算符在物理态上除非三维动量为零，否则会消失，揭示了量子场论与标准量子力学公设之间的不相容性。

ABSTRACT

The interrelations between the two definitions of momentum operator, via the canonical energy-momentum tensorial operator and as translation operator (on the operator space), are studied in quantum field theory. These definitions give rise to similar but, generally, different momentum operators, each of them having its own place in the theory. Some speculations on the relations between quantum field theory and quantum mechanics are presented.

研究动机与目标

• 澄清量子场论中动量算符两种定义在概念和数学上的区别。
• 分析正则（物理）动量算符与平移（数学）动量算符在何种条件下重合或不同。
• 研究量子场论与标准量子力学之间在动量算符方面的基础性不相容性。
• 探讨这一区别对非相对论性与相对论性量子力学以及量子场论之间关系的影响。

提出的方法

• 从拉格朗日量时空平移不变性所对应的诺特电流推导出正则动量算符。
• 将平移动量算符定义为在海森堡绘景中，对场算符空间上庞加莱群作用的生成元。
• 利用场算符与平移生成元之间的对易关系，推导出两种动量算符之间的关系。
• 应用海森堡绘景形式化方法，分析场算符在平移下的时间演化与变换性质。
• 通过考察其在物理态上的作用及其与薛定谔方程的一致性，比较所得动量算符。
• 分析在量子场论框架中施加薛定谔方程时产生的不一致，得出结论：仅零三维动量态是相容的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在量子场论中，由诺特定理导出的正则动量算符与由群表示理论导出的平移动量算符之间有何关系？
• RQ2 在何种条件下，正则动量算符与平移动量算符等价？
• RQ3 为何标准量子力学中的薛定谔方程在应用于动量算符时，与量子场论的结构产生冲突？
• RQ4 在平移定义中，4-动量算符定义至一个常向量的不确定性具有何种物理意义？
• RQ5 动量算符之间的不相容性如何影响从量子场论推导出量子力学的过程？

主要发现

• 由能量-动量张量导出的正则动量算符是守恒的，对应于系统中的物理动量。
• 作为算符空间上时空平移生成元定义的平移动量算符，通常与正则动量算符不等价。
• 只有当三维动量为零时，两者才重合，这在应用于非零动量态的量子力学中会导致矛盾。
• 标准量子力学中的薛定谔方程与量子场论的完整结构不相容，除非三维动量为零。
• 数学动量算符在物理态上除非动量为零，否则会消失，表明量子力学与量子场论公设之间存在根本性不相容。
• 本文结论为：由于动量算符的不匹配，无法通过简单限制于薛定谔方程，从量子场论一致地导出量子力学。