[论文解读] On Monotonicity and Propagation of Order Properties

Aivar Sootla|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文建立了马尔可夫过程中确定性单调性与随机顺序传播之间的联系，表明具有凸向量场的系统会传播增加凸序（F_icx），而具有标准单调性的系统则传播通常的顺序（F_d）。关键结果是，单分子反应的线性噪声近似（LNA）通过其均值和协方差保持了F_icx顺序，从而实现了基于矩分析的生物过程稳健比较。

ABSTRACT

In this paper, a link between monotonicity of deterministic dynamical systems and propagation of order by Markov processes is established. The order propagation has received considerable attention in the literature, however, this notion is still not fully understood. The main contribution of this paper is a study of the order propagation in the deterministic setting, which potentially can provide new techniques for analysis in the stochastic one. We take a close look at the propagation of the so-called increasing and increasing convex orders. Infinitesimal characterisations of these orders are derived, which resemble the well-known Kamke conditions for monotonicity. It is shown that increasing order is equivalent to the standard monotonicity, while the class of systems propagating the increasing convex order is equivalent to the class of monotone systems with convex vector fields. The paper is concluded by deriving a novel result on order propagating diffusion processes and an application of this result to biological processes.

研究动机与目标

• 阐明确定性单调性与马尔可夫过程中随机顺序传播之间的联系。
• 为确定性系统中的增加序与增加凸序提供无穷小刻画。
• 识别马尔可夫过程传播随机顺序（特别是F_icx与F_d）的条件。
• 将这些结果应用于通过线性噪声近似（LNA）建模的生物系统。
• 证明单分子反应网络通过其均值和协方差矩阵保持了F_icx顺序。

提出的方法

• 通过向量场的梯度与海森分析，推导F_d与F_icx顺序传播的无穷小条件。
• 表明F_d顺序传播对应于标准单调性，而F_icx传播则要求向量场为凸函数。
• 应用随机分析与条件期望技术，分析离散时间LNA过程。
• 利用詹森不等式与协方差差的半正定性，证明顺序保持性。
• 采用条件期望框架，通过基于矩的随机序比较分布。
• 分析LNA过程的转移算子，验证在特定网络结构下F_icx顺序的传播。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种确定性条件可确保动力系统中增加凸序（F_icx）的传播？
• RQ2 向量场的结构如何影响马尔可夫过程中随机顺序的传播？
• RQ3 哪些类型的生化反应网络在LNA下保持F_icx顺序？
• RQ4 为何F_icx顺序比F_d更适合用于比较单分子反应过程？
• RQ5 能否通过基于矩的分析（均值与协方差）推断LNA过程中随机序关系？

主要发现

• 传播F_icx顺序的系统类等价于具有凸向量场的单调系统。
• F_d顺序等价于标准单调性，对应于样本路径的几乎必然比较。
• 仅在LNA中解耦的生消过程传播F_d顺序，这限制了其在生物系统中的适用性。
• 所有LNA中的单分子反应网络均传播F_icx顺序，该顺序通过过程的均值与协方差矩阵保持。
• F_icx顺序使得即使在样本路径比较失败时，也能通过基于矩的随机优势比较系统分布。
• 证明依赖于条件期望与詹森不等式，表明对所有凸函数h，有E[h(TZ₂)|Z₁] ≥ E[h(TZ₁)]。