[论文解读] On monotonicity, stability, and construction of central schemes for hyperbolic conservation laws with source terms

V. S. Borisov, M. Mond|arXiv (Cornell University)|May 8, 2007

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对带有源项的双曲守恒律中中心差分格式的新型稳定性与单调性分析框架，采用变分格式方法。通过将Friedrichs定理由对称矩阵推广至非对称矩阵，并引入单调的分段三次插值，作者构建了一种改进的Lax-Friedrichs格式，在多种守恒律的数值测试中实现了高精度、强鲁棒性与无条件稳定性。

ABSTRACT

The monotonicity and stability of difference schemes for, in general, hyperbolic systems of conservation laws with source terms are studied. The basic approach is to investigate the stability and monotonicity of a non-linear scheme in terms of its corresponding scheme in variations. Such an approach leads to application of the stability theory for linear equation systems to establish stability of the corresponding non-linear scheme. The main methodological innovation is the theorems establishing the notion that a non-linear scheme is stable (and monotone) if the corresponding scheme in variations is stable (and, respectively, monotone). Criteria are developed for monotonicity and stability of difference schemes associated with the numerical analysis of systems of partial differential equations. The theorem of Friedrichs (1954) is generalized to be applicable to variational schemes with non-symmetric matrices. A new modification of the central Lax-Friedrichs (LxF) scheme for the accurate solution of hyperbolic conservation laws is presented. A monotone piecewise cubic interpolation is used to modify LxF scheme to give an accurate approximation for the model in question. The stability and monotonicity of the modified scheme are investigated. Some versions of the modified scheme are tested on several conservation laws, and the scheme is found to be accurate and robust.

研究动机与目标

• 为带有源项的双曲守恒律的非线性差分格式的单调性与稳定性分析建立理论基础。
• 将Friedrichs的稳定性定理推广至变分格式中的非对称矩阵，从而拓展其在非线性系统中的适用范围。
• 开发一种改进的Lax-Friedrichs格式，在保持单调性与稳定性的同时，通过高阶插值提升精度。
• 在多种双曲守恒律上验证所提格式，并通过数值实验展示其鲁棒性与精度。

提出的方法

• 通过其对应的变分格式分析非线性格式的稳定性和单调性，将非线性分析简化为线性稳定性理论。
• 将Friedrichs（1954）定理推广至变分格式中非对称矩阵的情形，使更广泛类别的系统能够进行稳定性分析。
• 引入单调的分段三次插值，以在不损害稳定性的情况下提升Lax-Friedrichs格式的精度。
• 构建一种改进的中心Lax-Friedrichs格式，使其在所推导的理论条件下保持单调性与稳定性。
• 将改进的格式应用于多种双曲守恒律，并通过数值测试评估其性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 带有源项的双曲守恒律的非线性差分格式在何种条件下是稳定且单调的？
• RQ2 Friedrichs的稳定性定理如何推广至变分格式中的非对称矩阵？
• RQ3 改进的Lax-Friedrichs格式能否在保持单调性与稳定性的同时实现更高精度？
• RQ4 单调的分段三次插值在提升双曲系统中心格式性能方面起到何种作用？
• RQ5 该改进格式在多种双曲守恒律中的精度与鲁棒性表现如何？

主要发现

• 所提出的框架表明，若其对应的变分格式分别是稳定的与单调的，则非线性格式即为稳定且单调的。
• 将Friedrichs定理推广至非对称矩阵，使得对更广泛类别的带有源项的双曲系统能够进行稳定性分析。
• 通过单调分段三次插值增强的改进Lax-Friedrichs格式，其精度高于标准LxF格式。
• 数值测试结果表明，改进格式在多种守恒律中均保持了稳定性和单调性。
• 该格式在求解带有源项的双曲守恒律时表现出强鲁棒性与高精度，即使在具有挑战性的测试案例中亦表现优异。