[论文解读] On Multi Poly-Bernoulli Polynomials

Roberto B. Corcino, Hassan Jolany+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2016

Advanced Mathematical Identities参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文通过多重 polylogarithm 引入广义多 poly-Bernoulli 多项式，并推导出 Hurwitz-Lerch 型多 poly-Bernoulli 多项式关于 r-Whitney 第二类数的显式公式。主要贡献在于通过特殊函数与 Stirling 型数，建立这些多项式与组合数论之间的闭式表达关系。

ABSTRACT

In this paper, we define multi poly-Bernoulli polynomials using multiple polylogarithm and derive some properties parallel to those of poly-Bernoulli polynomials. Furthermore, an explicit formula for certain Hurwitz-Lerch type multi poly-Bernoulli polynomials is established using the $r$-Whitney numbers of the second kind.

研究动机与目标

• 通过多重 polylogarithm 将 poly-Bernoulli 多项式推广至多参数情形。
• 通过广义 zeta 函数定义 Hurwitz-Lerch 型多 poly-Bernoulli 多项式。
• 建立这些多项式关于 r-Whitney 第二类数的显式公式。
• 为参数为负整数的特殊情况提供组合解释。

提出的方法

• 通过包含多重 polylogarithm 和指数项的生成函数定义广义多 poly-Bernoulli 多项式。
• 通过包含广义 Hurwitz-Lerch 多重 zeta 函数的生成函数引入 Hurwitz-Lerch 型多 poly-Bernoulli 多项式。
• 利用 r-Whitney 第二类数的指数生成函数推导显式公式。
• 将多项式的生成函数表示为包含 (1−e⁻ᵗ) 和指数项的级数，以建立与 r-Whitney 数的联系。
• 通过恒等式 W₋₁,ₓᵣ(n, mᵣ) = (−1)ⁿ⁺ᵐʳ S(n, mᵣ) 建立 r-Whitney 数与第二类 Stirling 数之间的联系。
• 利用 Hurwitz-Lerch 多重 zeta 函数的生成函数推导多项式的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过多重 polylogarithm 将 poly-Bernoulli 多项式推广至多参数情形？
• RQ2 Hurwitz-Lerch 型多 poly-Bernoulli 多项式的显式公式如何用已知的组合数表示？
• RQ3 r-Whitney 第二类数如何与这些多项式生成函数的系数相关联？
• RQ4 当参数为负整数时，多项式在非负整数点的取值能否赋予组合解释？

主要发现

• Hurwitz-Lerch 型多 poly-Bernoulli 多项式的显式公式为：Bₙ,ₐ⁽ᵏ¹,…,ᵏʳ⁾(x) = Σ₀≤ₘ₁≤…≤ₘʳ≤ₙ [mᵣ! W₋₁,ₓᵣ(n, mᵣ)] / [(m₁+a−r+1)ᵏ¹ ⋯ (mᵣ+a)ᵏʳ]。
• 当 x = 0 时，公式简化为 Bₙ,ₐ⁽ᵏ¹,…,ᵏʳ⁾ = Σ₀≤ₘ₁≤…≤ₘʳ≤ₙ [(-1)ⁿ⁺ᵐʳ mᵣ! S(n, mᵣ)] / [(m₁+a−r+1)ᵏ¹ ⋯ (mᵣ+a)ᵏʳ]，其中 S(n, mᵣ) 表示第二类 Stirling 数。
• 当 r = 1 时，该结果恢复了 Hurwitz-Lerch poly-Bernoulli 数的已知显式公式。
• 当参数 k₁, ..., kᵣ 为负整数时，Bₙ,ₐ⁽⁻ᵏ¹,…,⁻ᵏʳ⁾ 的取值为非负整数，提示其可能存在组合解释。
• r-Whitney 第二类数的生成函数被用于推导主公式，将特殊函数与组合序列联系起来。
• 通过恒等式 W₋₁,₀(n, mᵣ) = (−1)ⁿ⁺ᵐʳ S(n, mᵣ) 确认了 r-Whitney 数与 Stirling 数之间的联系。