[论文解读] On multidimensional Bochner-Phillips functional calculus

А. Р. Миротин|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2019

advanced mathematical theories参考文献 8被引用 26

一句话总结

本文利用多变量 Bernstein 函数，为交换 $C_0$-半群的生成元发展了多维函数演算，建立了该生成算子生成全纯半群的条件，并在一维情况下证明了一个矩不等式。主要贡献在于为半群生成元的矩型估计给出了一个精确的最优常数。

ABSTRACT

The functional calculus of semigroup generators, based on the class of Bernstein functions in several variables is developed, the condition for holomorphy of semigroups, generated by operators which arisen in the calculus is given, and in the one-dimensional case the moment inequality for such operators is proved.

研究动机与目标

• 基于多变量 Bernstein 函数，扩展并细化半群生成元的多维函数演算。
• 确定通过该演算生成的算子生成全纯半群的条件。
• 在一维情况下建立一个矩不等式，推广文献 [7] 中的结果。
• 就 Kishimoto 与 Robinson 提出的关于一致凸空间中全纯性的问题，给出肯定回答。
• 阐明函数演算的结构与性质，特别是由 $\psi(A)$ 生成的半群的生成元。

提出的方法

• 使用 $(-\infty,0)^n$ 上具有绝对单调一阶偏导数的 $C^\infty$ 函数类 $\mathcal{T}_n$。
• 对 $\psi \in \mathcal{T}_n$ 使用积分表示：$\psi(s) = c_0 + c_1 \cdot s + \int_{\mathbb{R}_+^n \setminus \{0\}} (e^{s \cdot u} - 1) d\mu(u)$。
• 通过 $\psi(A)x = c_0 x + c_1 \cdot Ax + \int (T(u) - I)x d\mu(u)$ 定义函数演算，其中 $x \in D(A)$。
• 通过 $g_t(A)x = \int_{\mathbb{R}_+^n} T(u)x d\nu_t(u)$ 构造半群 $g_t(A)$，其中 $\nu_t$ 是满足 $e^{t\psi(s)} = \int e^{s \cdot u} d\nu_t(u)$ 的测度。
• 应用多变量 Bernstein-Widder 定理，确保表示测度 $\nu_t$ 的存在性与唯一性。
• 利用 $\{\nu_t\}$ 构成有界测度的卷积半群的事实，确保 $g_t(A)$ 是 $C_0$-半群。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过 $\mathcal{T}_n$-演算定义的算子 $\psi(A)$ 在何种条件下生成全纯半群？
• RQ2 在一维情况下，矩型不等式中的最优常数是多少？
• RQ3 $\mathcal{T}_n$-演算如何与一致凸 Banach 空间中子半群的全纯性相关联？
• RQ4 半群 $g_t(A)$ 的增长性与 $\psi$ 在零附近的性态之间存在何种精确关系？
• RQ5 该函数演算能否在保持生成元性质的前提下，推广至无界算子？

主要发现

• 算子 $\psi(A)$ 的闭包是 $C_0$-半群 $g_t(A)$ 的生成元，确认该演算定义良好且一致。
• 若原始半群 $T_j(t)$ 全纯且满足特定增长条件，则半群 $g_t(A)$ 为全纯半群。
• 在一维情况下，本文证明了 $\|\psi(A)x\| \leq C_M \cdot \psi(-\|Ax\|/\|x\|) \cdot \|x\|$，其中 $C_M = (M+1)/(1 - e^{-(M+1)/M})$，该常数为最优。
• 若 $\psi \in \mathcal{T}_1$ 在 $(-\infty, 0)$ 上有界，则对所有 $A \in \text{Gen}(X)$，有 $\psi(A)$ 有界；反之，若对所有 $A$，$\psi(A)$ 有界，则 $\psi$ 必须在 $(-\infty, 0)$ 上有界。
• 若序列 $\psi_n \in \mathcal{T}_1$ 在 $(-\infty, 0]$ 上逐点收敛于零，则对所有 $x \in D(A)$，有 $\psi_n(A)x \to 0$。
• 该函数演算在单变量情况下与经典的 Bochner-Phillips 演算一致，并通过多变量 Bernstein 函数将其推广至多变量情形。