[论文解读] On Multiple and Polynomial Recurrent extensions of infinite measure preserving transformations

Tom Meyerovitch|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2007

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文证明了在可逆无限测度保持变换的测度保持扩张下，多重递归和多项式递归性质得以保持。通过条件测度和遍历理论技术，证明若基变换具有多重或多项式递归性，则其任意扩张也具有该性质，将有限测度遍历理论中的结果推广至无限测度情形。

ABSTRACT

We prove that multiple-recurrence and polynomial-recurrence of invertible infinite measure preserving transformations are both properties which pass to extensions.

研究动机与目标

• 建立在无限测度空间中，多重递归性在测度保持扩张下得以保持。
• 将基系统中的多项式递归性质推广至无限测度情形下的其扩张。
• 解决Aaronson与Nakada提出关于无限测度扩张中递归性的问题。
• 利用条件测度技术，将有限测度下的递归结果推广至无限测度系统。
• 为通过无限测度遍历理论研究零密度集合（如素数）中的递归性提供一个框架。

提出的方法

• 利用在基空间 $Y$ 上 $\nu$-几乎处处定义的条件测度 $\mu_y$，其中 $\mu = \mu \circ \pi^{-1}$，将扩张 $X$ 中的集合与其在 $Y$ 中的投影联系起来。
• 应用Szemerédi定理的有限版本，以在基系统中正密度集合内检测等差数列。
• 采用Bergelson-Leibman多项式递归定理的有限形式，以在 $\mathbb{Z}^l$ 的高密度子集中定位多项式构型。
• 构造一个集合 $B_\epsilon \subset Y$，其测度为正，使得对所有 $y \in B_\epsilon$，有 $\mu_y(A) > \epsilon$，从而为递归分析提供一致的下界。
• 利用多项式轨道 $p_i(k) = \sum a_{i,j}k^j$ 的结构，通过扩张映射 $\pi$ 将扩张 $T$ 中的递归性映射至基变换 $S$ 中的递归性。
• 应用测度论论证，证明若 $\nu(\bigcap_{j=0}^M S^{-jn}B) > 0$，则对某个大子集 $E$，有 $\mu(\bigcap_{j\in E} T^{-jn}A) > 0$，从而导出递归性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限测度保持系统中，多重递归性是否在测度保持扩张下依然保持？
• RQ2 在无限测度情形下，多项式递归性能否从基变换推广至其测度保持扩张？
• RQ3 无限测度系统中的递归性质在多大程度上与有限测度系统中的性质相一致？
• RQ4 在无限测度背景下，是否存在一种通用机制，可将递归行为从基系统传递至其扩张？
• RQ5 在正密度集合中多项式构型的结构是否在无限测度系统的扩张中得以保持？

主要发现

• 若 $S$ 是可逆的、多重递归的无限测度保持变换，则其任意测度保持扩张 $T$ 也是多重递归的。
• 若 $S$ 是多项式递归的，则其任意测度保持扩张 $T$ 也是多项式递归的。
• 证明表明，对任意 $A \in \mathcal{B}$ 满足 $\mu(A) > 0$，存在 $k \neq 0$，使得 $\mu(\bigcap_{i=0}^d T^{-p_i(k)}A) > 0$，从而确认了 $T$ 中的多项式递归性。
• 存在一个集合 $B_\epsilon \subset Y$，满足 $\nu(B_\epsilon) > 0$ 且对所有 $y \in B_\epsilon$ 有 $\mu_y(A) > \epsilon$，该性质使得递归性可从 $S$ 传递至 $T$。
• Bergelson-Leibman定理的应用表明，对充分大的 $N$，存在 $r$ 和 $\overline{u}$，使得 $\overline{u} + \sum a_{i,j}r^j e_j \in E$，从而在扩张中产生共同的递归时间。
• 结果可无修改地推广至 $\mathbb{Z}^d$-作用情形，利用多维Szemerédi定理和Bergelson-Leibman定理，确认了在高维动力系统中的鲁棒性。