[论文解读] On Multiple Recurrence

Ilya D. Shkredov|ArXiv.org|Jun 21, 2004

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文为具有两个交换测度保持变换的动力系统建立了弗斯滕伯格多重遍历定理的定量版本。通过引入一种涉及Hausdorff型测度与熵的新遍历函数，证明了对几乎所有点，联合遍历时间受度量熵函数的限制，从而对Z²中无角点集合的密度给出了显式上界，改进了以往关于Szemerédi型问题的对数型上界。

ABSTRACT

Let X be a metric space with metric d and T,S be two commutative measure-preserving maps of X. In this paper we obtain numerical results about multiple recurrence of almost every point of this dynamical system. On other words we study the question about convergence to zero of max{d(T^n x,x), d(S^n x,x)}.

研究动机与目标

• 将弗斯滕伯格的多重遍历定理推广至具有两个交换测度保持变换的系统。
• 为这类系统提供遍历时间的定量界，改进已有的定性遍历结果。
• 将这些界应用于估计[1,N]²二维网格中无角点子集的最大密度。
• 利用遍历理论推导出衡量无角点集合最大密度的函数L(N)的显式上界。

提出的方法

• 引入一个涉及连续递增函数h的遍历函数C_{S,R}(x)，其形式为n·h(d(Sⁿx,x))与n·h(d(Rⁿx,x))的liminf。
• 使用Hausdorff型测度H_h与ε-熵N_ε(X)来量化遍历集合的大小。
• 应用一个覆盖引理（引理2.10）以界定集合Y(t)的测度，其中S与R在t步内均不返回Y。
• 建立一个Stieltjes积分不等式（定理2.8），以关联遍历时间的分布与集合的测度。
• 利用紧致度量空间上不变测度的存在性（引理2.11）以确保遍历框架的适用性。
• 将主要遍历界应用于Z²中的角点问题，推导出L(N)的定量上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有两个交换变换的动力系统中，多重遍历的定量速率是什么？
• RQ2 如何利用度量与测度论工具界定联合轨道的遍历时间？
• RQ3 在[1,N]²中，不含角点三元组的子集的最大可能密度是多少？该密度随N增大时衰减速度如何？
• RQ4 弗斯滕伯格的遍历结果能否被强化，以得到以熵或Hausdorff测度表示的显式界？
• RQ5 两个交换映射的联合遍历行为如何与稀疏集中算术构型的存在性相关？

主要发现

• 本文证明：对于任意密度至少为δ的集合A ⊆ [1,N]²，若N ≥ exp(exp(exp(δ⁻ᶜ)))，其中c > 0为绝对常数，则A必包含一个角点三元组。
• 证明了L(N) ≤ 100 / log_*¹ᐟ⁴ N，改进了角点问题的早期界。
• 主要遍历结果给出L(N) ≪ 1 / (log log log N)^{C₁}，其中C₁ > 0为绝对常数，从而为弗斯滕伯格定理提供了定量版本。
• 对于具有H_h(X) < ∞的紧致度量空间X及两个交换映射S, R，存在一点x，使得liminf_{n→∞} L⁻¹(n) · max{h(d(Sⁿx,x)), h(d(Rⁿx,x))} ≤ C，其中C为某绝对常数。
• 函数C_{S,R}(x)关于μ可积，且满足∫_A C_{S,R}(x) dμ ≤ H_h(A)，从而在测度论上控制了遍历行为。
• 通过在网格[1,t]²上的覆盖论证，推导出μ(Y(t)) ≤ L(t)的界，其中Y(t)为在t步内均不返回的点的集合。