[论文解读] On Multisequences and their extensions

Srinivasan Krishnaswamy, Harish K. Pillai|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文提出了有限域上多重序列的 R-扩展概念，并开发了一种算法，用于生成其 R-扩展达到最大维数的多重序列。本文推导出此类多重序列数量的闭式公式，并将该理论应用于计算满秩汉克尔矩阵的数量，以及给定本原特征多项式下多输入/多输出延迟模块的线性反馈移位寄存器（LFSR）配置数量。

ABSTRACT

In this paper we deal with the dimension of multisequences and related properties. For a given multisequence W and an m tuple of positive integers R, we define the R extension of W. Further we count the number of multisequences W whose R extensions have maximum dimension and give an algorithm to derive such multisequences. We then go on to use this theory to count the number of Linear Feedback Shift Register(LFSR) configurations with multi input multi output delay blocks for any given primitive characteristic polynomial and also to design such LFSRs. Further, we use the result on multisequences to count the number of Hankel matrices of any given dimension.

研究动机与目标

• 定义并分析多重序列的 R-扩展，表征其维数。
• 推导出其 R-扩展达到最大维数的多重序列数量的公式。
• 开发一种算法，用于生成具有最大维数 R-扩展的此类多重序列。
• 将该理论应用于计算给定本原特征多项式下具有 m 输入/m 输出延迟模块的 LFSR 配置数量。
• 建立满秩汉克尔矩阵与多重序列 R-扩展之间的新联系，从而实现对这类矩阵的枚举。

提出的方法

• 引入多重序列的矩阵状态概念，并将多重序列的维数定义为其矩阵状态列空间的维数。
• 对于 R ∈ ℤ₊ᵐ，定义多重序列的 R-扩展，通过移位并追加新的状态向量来扩展矩阵状态。
• 利用线性递推关系的伴随矩阵表示来建模多重序列的动力学行为。
• 应用线性递推序列与最小多项式理论，表征最小多项式为本原多项式的多重序列。
• 通过汉克尔矩阵的结构性质，建立满秩汉克尔矩阵与 R-扩展达到最大维数的多重序列之间的双射关系。
• 基于满足 R-扩展最大维数条件的满秩矩阵状态数量，推导出计数公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 多重序列的 R-扩展的最大可能维数是多少？这一最大值在哪些多重序列上实现？
• RQ2 对于给定的 R ∈ ℤ₊ᵐ，有多少个 𝔽_q^m 上的多重序列其 R-扩展达到最大维数？
• RQ3 多重序列 R-扩展理论能否用于计算给定本原特征多项式下具有 m 输入/m 输出延迟模块的 LFSR 配置数量？
• RQ4 是否存在满秩汉克尔矩阵与 R-扩展达到最大维数的多重序列之间的结构对应关系？
• RQ5 有限域 𝔽_q 上的 n×n 满秩汉克尔矩阵的数量是多少？

主要发现

• 在 𝔽_q^m 中，其 R-扩展达到最大维数的多重序列数量，由基于矩阵状态与 R-扩展结构推导出的闭式公式给出。
• 对于给定的 2n−1 次本原多项式 p(s) 和 R = (n−1, n)，𝔽_q 上的 n×n 满秩汉克尔矩阵的数量恰好为 q^{2n−1} − q^{2n−2}。
• 该理论可实现对具有 m 输入/m 输出延迟模块并生成指定本原特征多项式的 LFSR 配置的枚举。
• 建立了满秩汉克尔矩阵与 R-扩展达到最大维数的多重序列之间的双射关系，从而可通过多重序列枚举实现精确计数。
• 提供了一种算法，用于生成其 R-扩展达到最大维数的多重序列，该算法基于构造满秩矩阵状态。
• 多重序列的维数定义为其矩阵状态列空间的维数，R-扩展通过用移位状态扩展状态矩阵而构建。