[论文解读] On $(N(k),\xi)$-semi-Riemannian manifolds: Semisymmetries

Mukut Mani Tripathi, Punam Gupta|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文引入了$(N(k),\rho)$-半黎曼流形，并研究了各种曲率张量（包括${\rm T}_a$、${\rm W}_i$和${\rm W}_j^*$）的半对称性质。研究证明，在代数条件成立时，$\rho$-${\rm T}_a$-平坦的$(N(k),\rho)$-半黎曼流形是$\rho$-爱因斯坦流形，且对$(\rho_a, S_{\rho_b})$-半对称流形进行了分类，表明其要么是爱因斯坦流形，要么具有常曲率。

ABSTRACT

$(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are defined. Examples and properties of $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are given. Some relations involving ${\\cal T}_{a}$-curvature tensor in $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are proved. $\\xi $-${\\cal T}_{a}$-flat $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are defined. It is proved that if $M$ is an $n$-dimensional $\\xi $-${\\cal T}_{a}$-flat $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifold, then it is $\\eta $-Einstein under an algebraic condition. We prove that a semi-Riemannian manifold, which is $T$-recurrent or $T$-symmetric, is always $T$-semisymmetric, where $T$ is any tensor of type $(1,3)$. $({\\cal T}_{a}, {\\cal T}_{b}) $-semisymmetric semi-Riemannian manifold is defined and studied. The results for ${\\cal T}_{a}$-semisymmetric, ${\\cal T}_{a}$-symmetric, ${\\cal T}_{a}$-recurrent $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are obtained. The definition of $({\\cal T}_{a},S_{{\\cal T}_{b}})$-semisymmetric semi-Riemannian manifold is given. $({\\cal T}_{a},S_{{\\cal T}_{b}})$-semisymmetric $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are classified. Some results for ${\\cal T}_{a}$-Ricci-semisymmetric $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are obtained.

研究动机与目标

• 定义并研究$(N(k),\rho)$-半黎曼流形，作为接触度量和萨斯凯安结构的推广。
• 在$(N(k),\rho)$-流形的背景下，分析涉及多种曲率张量（包括${\rm T}_a$、${\rm W}_i$和${\rm W}_j^*$）的半对称性条件。
• 建立$\rho$-${\rm T}_a$-平坦性蕴含$\rho$-爱因斯坦结构的条件，尤其在代数约束下。
• 对$(\rho_a, S_{\rho_b})$-半对称的$(N(k),\rho)$-半黎曼流形进行分类，并确定其几何特征。
• 研究多个曲率张量（${\rm W}_1^*, {\rm W}_2, \text{等}$）的里奇-半对称性，并在特殊情况下推导里奇张量的显式表达式。

提出的方法

• 将$(N(k),\rho)$-半黎曼流形结构定义为$N(k)$-接触度量和$\rho$-萨斯凯安流形的推广。
• 将${\rm T}_a$-曲率张量定义为广义曲率张量，包括共形、拟共形和射影类型。
• 应用半对称条件$R(X,Y)\nabla T = 0$（其中$T$为$(1,3)$型张量），并证明$T$-递归或$T$-对称流形总是$T$-半对称。
• 引入$(\rho_a, S_{\rho_b})$-半对称条件，其中$S_{\rho_b}$是与$\rho_b$相关的里奇张量，并推导出结构约束。
• 利用$(N(k),\rho)$-流形中的代数恒等式和曲率关系，推导出在多种${\rm W}_i$-张量下，里奇-半对称性条件下的里奇张量$S$的显式公式。
• 将接触度量和萨斯凯安几何中的已知几何恒等式应用于特殊情况（如$k=1$，$\rho$-萨斯凯安），以简化曲率表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个$\rho$-${\rm T}_a$-平坦的$(N(k),\rho)$-半黎曼流形是$\rho$-爱因斯坦流形？
• RQ2 $(\rho_a, S_{\rho_b})$-半对称的$(N(k),\rho)$-半黎曼流形如何分类？
• RQ3 一个${\rm T}_a$-半对称的$(N(k),\rho)$-半黎曼流形在何种情况下必然是${\rm T}_a$-平坦或具有常曲率？
• RQ4 在$N(k)$-接触度量、萨斯凯安和凯姆茨曼流形中，${\rm W}_i$-里奇-半对称性下，里奇张量的表达式如何变化？
• RQ5 一个$(N(k),\rho)$-半黎曼流形对于不同的曲率张量${\rm T}_a$，其$\rho$-${\rm T}_a$-平坦性的必要且充分条件是什么？

主要发现

• 若$n$维的$\rho$-${\rm T}_a$-平坦的$(N(k),\rho)$-半黎曼流形满足关于里奇张量和曲率张量的代数条件，则其为$\rho$-爱因斯坦流形。
• ${\rm T}_a$-半对称的$(N(k),\rho)$-半黎曼流形要么是$\rho$-爱因斯坦流形，要么具有常曲率，具体取决于曲率张量${\rm T}_a$。
• 对于${\rm W}_1^*$-里奇-半对称流形，里奇张量满足：在$N(k)$-接触度量流形中$S = k(n-1)g$，在萨斯凯安流形中$S = (n-1)g$，在凯姆茨曼流形中$S = - (n-1)g$。
• 对于${\rm W}_4$-里奇-半对称流形，里奇张量满足$S^2 = (n-1)S - (n-1)^2g + (n-1)^2\theta \theta$，在萨斯凯安流形中成立。
• 对于${\rm W}_9$-里奇-半对称流形，里奇张量与$\theta \theta$成正比，具体为：在$N(k)$-接触度量流形中$S = k(n-1)\theta \theta$，在萨斯凯安流形中$S = (n-1)\theta \theta$。
• $(\rho_a, S_{\rho_b})$-半对称条件导致分类结果：此类流形要么是爱因斯坦流形，要么具有常曲率，具体取决于曲率类型和$\rho$的结构。