[论文解读] On Navier-Stokes-Korteweg and Euler-Korteweg Systems: Application to Quantum Fluids Models

Didier Bresch, Marguerite Gisclon+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文将相对熵方法扩展至满足BD关系的密度依赖粘性系数的Navier-Stokes-Korteweg与Euler-Korteweg系统，实现了弱-强唯一性，并证明了当粘性系数趋于零时，量子Navier-Stokes系统的全局弱解收敛于量子Euler系统的耗散解。关键贡献在于通过引入增广系统，简化了相对熵公式，相较于先前工作，对毛细系数的假设更少。

ABSTRACT

In this paper, the main objective is to generalize to the Navier-Stokes-Korteweg (with density dependent viscosities satisfying the BD relation) and Euler-Korteweg systems a recent relative entropy [proposed by D. Bresch, P. Noble and J.--P. Vila, (2016)] introduced for the compressible Navier-Stokes equations with a linear density dependent shear viscosity and a zero bulk viscosity. As a concrete application, this helps to justify mathematically the convergence between global weak solutions of the quantum Navier-Stokes system [recently obtained simultaneously by I. Lacroix-Violet and A. Vasseur (2017)] and dissipative solutions of the quantum Euler system when the viscosity coefficient tends to zero: This selects a dissipative solution as the limit of a viscous system. We also get weak-strong uniqueness for the Quantum-Euler and for the Quantum-Navier-Stokes equations. Our results are based on the fact that Euler-Korteweg systems and corresponding Navier--Stokes-Korteweg systems can be reformulated through an augmented system such as the compressible Navier-Stokes system with density dependent viscosities satisfying the BD algebraic relation. This was also observed recently [by D. Bresch, F. Couderc, P. Noble and J.--P. Vila, (2016)] for the Euler-Korteweg system for numerical purposes. As a by-product of our analysis, we show that this augmented formulation helps to define relative entropy estimates for the Euler Korteweg systems in a simplest way compared to recent works [See D. Donatelli, E. Feireisl, P. Marcati (2015) and J. Giesselmann, C. Lattanzio, A.-E. Tzavaras (2017)] with less hypothesis required on the capillary coefficient.

研究动机与目标

• 将适用于具有密度依赖粘性的可压缩Navier-Stokes方程的相对熵框架推广至Navier-Stokes-Korteweg与Euler-Korteweg系统。
• 证明当粘性系数趋于零时，量子Navier-Stokes系统的全局弱解收敛于量子Euler系统的耗散解。
• 利用相对熵方法，为量子Euler方程与量子Navier-Stokes方程建立弱-强唯一性。
• 通过引入增广系统形式，简化Euler-Korteweg系统的相对熵估计，相较于先前工作，对毛细系数的假设更少。

提出的方法

• 作者将Euler-Korteweg与Navier-Stokes-Korteweg系统重新表述为具有满足BD代数关系的密度依赖粘性的增广可压缩Navier-Stokes系统。
• 将近期发展的相对熵框架——最初用于线性密度依赖剪切粘性且体积粘性为零的情况——应用于该增广系统。
• 构造相对熵泛函以度量黏性系统的弱解与无黏系统强解之间的距离。
• 该方法依赖于利用增广系统结构推导能量型不等式，从而控制相对熵的演化。
• 关键估计涉及毛细项 $ \varepsilon^2 \rho \nabla \left( K(\rho)\Delta\rho + \frac{1}{2}K'(\rho)|\nabla\rho|^2 \right) $，其中 $ K(\rho) = \rho^s $，$ -1 \leq s \leq 0 $，以确保可积性与收敛性。
• 分析表明，粘性趋于零时，唯一选择出耗散解，将黏性系统的弱解与无黏系统的耗散解联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 相对熵方法能否扩展至满足BD关系的密度依赖粘性系数的Euler-Korteweg与Navier-Stokes-Korteweg系统？
• RQ2 当粘性系数趋于零时，量子Navier-Stokes系统的全局弱解是否收敛于量子Euler系统的耗散解？
• RQ3 能否利用此相对熵框架为量子Euler与量子Navier-Stokes方程建立弱-强唯一性？
• RQ4 与先前方法相比，增广系统形式如何简化Euler-Korteweg系统的相对熵估计？
• RQ5 为使相对熵估计成立，对毛细系数 $ K(\rho) $ 的最小假设是什么？

主要发现

• 成功地将相对熵框架扩展至满足BD关系的密度依赖粘性系数的Navier-Stokes-Korteweg与Euler-Korteweg系统。
• 当粘性系数趋于零时，量子Navier-Stokes系统的全局弱解收敛于量子Euler系统的耗散解。
• 利用相对熵方法，为量子Euler与量子Navier-Stokes方程建立了弱-强唯一性。
• 增广系统形式使得相对熵估计对毛细系数 $ K(\rho) $ 的假设显著减少，尤其适用于 $ K(\rho) = \rho^s $ 且 $ -1 \leq s \leq 0 $ 的情形。
• 在指定的 $ K(\rho) $ 条件下，$ \mathcal{E}_{\text{EuK}}^{\text{GLT}} = 0 $ 蕴含 $ \mathcal{E}_{\text{EuK}} = 0 $，确保了相对熵与其广义形式的等价性。
• 分析确认，耗散解是黏性系统极限下的唯一选择，为无黏极限中物理上合理的解的选择提供了数学依据。