[论文解读] On necessary and sufficient conditions for finite element convergence

Václav Kučera|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 5被引用 9

一句话总结

该论文首次建立了分片线性协调有限元法在 $H^1(\Omega)$ 中 $O(h^\alpha)$ 收敛的非平凡必要条件，识别出最大角趋近于 $\pi$ 的交替模式下退化单元带的几何约束。同时，该研究还推广了充分条件，表明只要退化单元的最大角顶点是孤立的或形成小簇，此类单元即可被允许，从而缩小了对收敛性完整刻画的差距。

ABSTRACT

In this paper we derive a necessary condition for finite element method (FEM) convergence in $H^1(Ω)$ as well as generalize known sufficient conditions. We deal with the piecewise linear conforming FEM on triangular meshes for Poisson's problem in 2D. In the first part, we prove a necessary condition on the mesh geometry for $O(h^α)$ convergence in the $H^1(Ω)$-seminorm with $α\in[0,1]$. We prove that certain structures, bands consisting of neighboring degenerating elements forming an alternating pattern cannot be too long with respect to $h$. This is a generalization of the Babu\v ska-Aziz counterexample and represents the first nontrivial necessary condition for finite element convergence. Using this condition we construct several counterexamples to various convergence rates in the FEM. In the second part, we generalize the maximum angle and circumradius conditions for $O(h^α)$ convergence. We prove that the triangulations can contain many elements violating these conditions as long as their maximum angle vertexes are sufficiently far from other degenerating elements or they form clusters of sufficiently small size. While a necessary and sufficient condition for $O(h^α)$ convergence in $H^1(Ω)$ remains unknown, the gap between the derived conditions is small in special cases.

研究动机与目标

• 确定分片线性协调有限元法在 $H^1(\Omega)$ 中 $O(h^\alpha)$ 收敛的首个非平凡必要条件，超越平凡的 $h \to 0$ 要求。
• 通过允许在受控几何构型下存在退化单元，推广现有的充分条件（如最大角条件与外接圆半径条件），以实现 $O(h^\alpha)$ 收敛。
• 通过分析离散有限元空间在 $H^1$-半范数下的逼近性质，缩小必要条件与充分条件之间的差距。
• 构造反例以证明非收敛性或次最优收敛速率，包括以最优形式恢复 Babuška-Aziz 反例。
• 提出一种框架，通过校正函数与改进的拉格朗日插值法，在包含退化单元的网格上构造全局连续插值函数。

提出的方法

• 引入了‘带’（bands）的概念——由边连接的相邻三角形单元构成的集合——其中最大角形成交替的‘之’字形模式，从而实现梯度在带内的传播。
• 推导出在带 $\mathcal{B}$ 上 $H^1$-半范数误差 $|u - U|_{H^1(\mathcal{B})}$ 的下界，表明若带足够长（$L \geq C_L h^{2\alpha/5}$）且最大角足够快地趋近于 $\pi$，则误差无界，与 $O(h^\alpha)$ 收敛矛盾。
• 利用该矛盾推导出必要条件：最大角交替趋近于 $\pi$ 的退化单元带长度不能超过 $O(h^{2\alpha/5})$（当 $h \to 0$ 时）。
• 通过将网格划分为两部分 ${\cal T}_h^1$（满足最大角条件）与 ${\cal T}_h^2$（违反该条件），推广充分条件；在 ${\cal T}_h^1$ 上使用标准拉格朗日插值，在 ${\cal T}_h^2$ 上使用带有 $O(h_K^2)$ 修正项的改进插值。
• 引入校正函数以协调 ${\cal T}_h^2$ 上不连续的改进插值函数，从而构造出具有 $O(h^\alpha)$ 误差的全局连续插值函数。
• 证明了 ${\cal T}_h^2$ 中的退化单元可形成直径达 $O(h^{1/2})$ 的簇，或形成长链，只要其最大角顶点与其他此类顶点保持足够距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $H^1(\Omega)$ 中，分片线性 FEM 实现 $O(h^\alpha)$ 收敛时，退化单元带的几何约束是什么？
• RQ2 最大角条件与外接圆半径条件能否推广，以允许在受控空间排列下存在退化单元？
• RQ3 在三角剖分中，退化单元在多大程度上可被容忍而不破坏 $O(h^\alpha)$ 收敛性？
• RQ4 能否构造反例以在特定网格几何下证明非收敛性或次最优收敛速率？
• RQ5 如何在违反最大角条件的退化单元网格上构造全局连续插值函数？

主要发现

• 首次推导出 $H^1(\Omega)$ 中 $O(h^\alpha)$ 收敛的非平凡必要条件：最大角交替趋近于 $\pi$ 的退化单元带长度不能超过 $O(h^{2\alpha/5})$。
• 对于形成 $L \times L$ 尺寸簇的多个带，必要条件要求 $L \leq C_L h^{2\alpha/5}$，而充分条件允许 $L \leq C_L h^{\alpha/2}$，表明存在 $h^{\alpha/10}$ 量级的差距。
• Babuška-Aziz 反例被恢复并扩展，最优分析表明退化速度可调节，以产生非收敛性或对任意 $\alpha < 1$ 的 $O(h^\alpha)$ 收敛性。
• 只要最大角顶点不与其他此类顶点过于接近，或形成直径为 $O(h^{1/2})$ 的簇，违反最大角条件的退化单元可被保留在网格中。
• 通过新构造的校正函数，即使在退化单元上的局部插值存在 $O(h_K^2)$ 修正项，仍可构造出具有 $O(h^\alpha)$ 误差的全局连续插值函数。
• 分析表明，插值函数无法全局为线性的集合的大小至关重要，$O(h^{0.5\alpha})$ 是充分条件，而 $O(h^{0.4\alpha})$ 是收敛的必要条件。