[论文解读] On Neighbourhood Zagreb index of product graphs

Sourav Mondal, Nilanjan De+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2018

Graph theory and applications参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文引入了邻域Zagreb指数（Mₙ），一种新型的基于度数的分子图拓扑指数，并推导出其在笛卡尔积、张量积和楔积图中的精确公式。在正构烷烃异构体中，该指数与熵（r = -0.95261）和偏置因子（r = -0.99456）表现出强烈相关性，显示出在QSPR研究中具有高度预测能力且退化性低，因此在化学结构-性质建模和药物设计中具有广阔前景。

ABSTRACT

There is powerful relation between the chemical behaviour of chemical compounds and their molecular structures. Topological indices defined on these chemical molecular structures are capable to predict physical properties, chemical reactivity and biological activity. In this article, a new topological index named as Neighbourhood Zagreb index $(M_N)$ is presented. Here the chemical importance of this newly introduced index is studied and some explicit results for this index of different product graphs such as Cartesian, Tensor and Wreath product is derived. Some of these results are applied to obtain the Neighbourhood Zagreb index of several chemically important graphs and nano-structures.

研究动机与目标

• 引入并研究一种新型拓扑指数——邻域Zagreb指数（Mₙ）的化学意义，该指数基于顶点邻居度数的平方和。
• 推导Mₙ在三种主要图积运算（笛卡尔积、张量积和楔积）中的精确解析表达式。
• 将推导出的公式应用于计算Mₙ在化学相关图和纳米结构中的值，包括路径图、环图、完全图以及栅栏型结构。
• 通过正构烷烃异构体评估Mₙ在定量构效关系（QSPR）建模中的结构区分能力与预测准确性。

提出的方法

• 将邻域Zagreb指数定义为 Mₙ(G) = Σₙ∈V(G) [δ_G(v)]²，其中 δ_G(v) = Σᵤ∈N_G(v) deg_G(u) 表示顶点v的邻居度数之和。
• 利用图积的定义：笛卡尔积（G₁□G₂）、张量积（G₁×G₂）和楔积（G₁[G₂]），基于分量图的不变量推导Mₙ的表达式。
• 在推导公式中利用已知图不变量，如M₁（第一Zagreb指数）、M₂（第二Zagreb指数）、边数|E|和顶点数|V|。
• 应用组合求和技巧和代数化简方法，展开并简化在乘积图顶点集上对邻域度数平方和的计算。
• 通过回归分析在molecular descriptors.eu提供的正构烷烃异构体数据集上验证该指数，计算其与熵和偏置因子的皮尔逊相关系数。
• 通过平均异构体退化度（d = n/t）评估退化性，以评估其结构区分能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 邻域Zagreb指数（Mₙ）在正构烷烃异构体中与熵和偏置因子等关键物理化学性质的相关性如何？
• RQ2 能否为两个图的笛卡尔积、张量积和楔积这三种主要图积运算推导出Mₙ的精确闭式表达式？
• RQ3 Mₙ在区分结构异构体方面的表现如何，特别是在与现有拓扑指数比较时？
• RQ4 Mₙ如何应用于计算路径图、环图、完全图以及如栅栏图等纳米结构的指数？
• RQ5 由于其高预测精度和低退化性，Mₙ在QSPR/QSAR建模和药物设计中的潜力如何？

主要发现

• 邻域Zagreb指数（Mₙ）在正构烷烃异构体中与偏置因子（r = -0.99456）和熵（r = -0.95261）表现出极强的负相关性，熵的决定系数r²为0.98915，偏置因子的决定系数r²为0.90746。
• Mₙ指数表现出较低的退化性，正构烷烃异构体的平均异构体退化度（d）为1.0，表明其能唯一区分全部18种结构异构体。
• 笛卡尔积的Mₙ精确公式为 Mₙ(G₁□G₂) = Mₙ(G₁)Mₙ(G₂)，适用于最小度数≥2的图。
• 对于楔积图G₁[G₂]，公式为 Mₙ(G₁[G₂]) = |V₂|⁴Mₙ(G₁) + Mₙ(G₂) + 12|V₂||E₂|²M₁(G₁) + 8|E₁||E₂|M₁(G₂) + 8|V₂|²|E₂|(|V₂|+1)M₂(G₁) + 8|V₂||E₁|M₂(G₂) + 3|V₂|²M₁(G₁)M₁(G₂)。
• 显式计算表明：当n,m ≥ 4时，Mₙ(Pₙ□Pₘ) = (16n−38)(16m−38)；Mₙ(Cₙ□Cₘ) = 256mn；Mₙ(Pₙ[P₂]) = 864n−1694。
• 该指数成功计算了复杂纳米结构的Mₙ值：当n ≥ 3时，Mₙ(Cₙ[P₂]) = 816n+2，对应于闭合栅栏图。