[论文解读] On Neumann and oblique derivatives boundary conditions for nonlocal elliptic equations

Guy Barles, Christine Georgelin+1 more|Feb 22, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 5

一句话总结

本文为在可能非光滑、无界或非凸的区域中具有诺依曼（Neumann）和斜导数边界条件的非局部椭圆型偏微分方程（PDEs）建立了严格的粘性解框架。该文提出了针对在区域补集上施加边界条件的非局部方程的新粘性解定义，通过比较原理证明了解的唯一性，并通过从全空间问题中对区域进行惩罚的方法证明了解的存在性。

ABSTRACT

Inspired by the penalization of the domain approach of Lions & Sznitman, we give a sense to Neumann and oblique derivatives boundary value problems for nonlocal, possibly degenerate elliptic equations. Two different cases are considered: (i) homogeneous Neumann boundary conditions in convex, possibly non-smooth and unbounded domains, and (ii) general oblique derivatives boundary conditions in smooth, bounded, and possibly non-convex domains. In each case we give apropriate definitions of viscosity solutions and prove uniqueness of solutions of the corresponding boundary value problems. We prove that these boundary value problems arise in the penalization of the domain limit from whole space problems and obtain as a corollary the existence of solutions of these problems.

研究动机与目标

• 为在边界不规则或无界的区域中可能退化的非局部椭圆型PDE定义并严格形式化诺依曼和斜导数边界条件。
• 将经典边界条件的概念扩展至非局部情形，其中解必须在整个空间上定义，因此边界条件需在整个区域补集上施加。
• 在区域和向量场的适当结构与几何假设下，建立比较原理并证明粘性解的唯一性。
• 证明此类边值问题的解可作为惩罚全空间问题的极限而出现，从而通过逼近方法证明解的存在性。

提出的方法

• 基于非局部算子 $\mathcal{I}[u]$ 的结构，提出一种针对在区域整个补集上施加边界条件的非局部PDE的新粘性解定义。
• 采用受Lions与Sznitman启发的区域惩罚方法，其中边界条件作为在 $\mathbb{R}^N$ 上带惩罚项的问题的极限出现。
• 采用适用于非局部算子的粘性解框架，依赖于次解与超解之间的比较原理。
• 通过卷积实现正则化技术，构造具有在 $\gamma(x)$ 方向受控方向导数的光滑测试函数。
• 利用向量场 $-\gamma(x)$ 的特征线法分析从外部到达边界的可达性，确保边界条件的适定性。
• 证明特征ODE $\dot{X}_x(t) = -\gamma(X_x(t))$ 的解具有局部利普希茨连续性，这是构造障碍函数和证明正则性的基础。

实验结果

研究问题

• RQ1 当解依赖于区域外部的值时，如何为非局部椭圆型PDE有意义地定义诺依曼型边界条件？
• RQ2 在何种区域与向量场 $\gamma(x)$ 的条件下，可确保边界条件 $Du(x)\cdot\gamma(x) = g(x)$ 在 $\Omega^c$ 上适定并导致唯一解？
• RQ3 区域惩罚方法能否推广至具有斜导数的非局部方程？其是否能导出解的存在性？
• RQ4 在何种几何与正则性假设下，非局部PDE的此类边界条件的比较原理成立？
• RQ5 如何构造在 $\gamma(x)$ 方向具有受控方向导数的光滑测试函数，以验证粘性解的性质？

主要发现

• 本文为具有诺依曼与斜导数边界条件的非局部椭圆型PDE提出了新的粘性解定义，即使在非光滑、无界或非凸的区域中也成立。
• 在退化椭圆性及结构假设 (1.3)、(1.5) 与边界条件 (BC1)–(BC3) 下，证明了粘性解的唯一性。
• 解作为惩罚全空间问题的极限获得，表明边值问题自然源于此类逼近。
• 在 (BC1) 与 (BC2) 下，特征ODE $\dot{X}_x(t) = -\gamma(X_x(t))$ 的解被证明具有局部利普希茨连续性，从而支持障碍函数的构造。
• 通过卷积的正则化论证，得到光滑函数 $w_\varepsilon$，使得在紧子集上 $\gamma \cdot D w_\varepsilon \geq 1$，这对验证粘性解性质至关重要。
• 将比较原理应用于通过 $\overline{G}$ 与 $\underline{G}$ 定义的次解与超解，得出 $\overline{u} = \underline{u} = u$，从而证明唯一性与逼近的收敛性。