[论文解读] On New Refinements and Reverses of Young's Operator Inequality

Sever S Dragomir|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2015

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 6被引用 14

一句话总结

本文提出了新的算子不等式，通过凸函数和二阶导数的界，对正算子的杨氏不等式进行了精化与逆向推广。通过Kantorovich比和Specht比建立更紧致的估计，将标量不等式推广至算子情形，并给出了涉及算子平均和凸性约束的显式误差界。

ABSTRACT

In this paper we obtain some new refinements and reverses of Young's operator inequality. Extensions for convex functions of operators are also provided.

研究动机与目标

• 在希尔伯特空间上的正算子背景下，发展杨氏算子不等式的新型精化与逆向不等式。
• 通过凸函数，将涉及Kantorovich比和Specht比的标量精化推广至算子情形。
• 通过二阶导数约束，为加权算术平均与几何平均之间的差值提供更紧致的误差界。
• 通过引入凸泛函和算子单调性性质，推广现有结果。
• 建立经典不等式的算子版本，并通过谱界推导出显式常数。

提出的方法

• 利用凸函数 $ f $ 在区间 $ [\rho, \tau] $ 上的二阶导数有界性，假设 $ d \triangleq \text{inf} f''(t) $ 且 $ D \triangleq \text{sup} f''(t) $。
• 将不等式 $ \frac{1}{2}\nu(1-\nu)d(b-a)^2 \leq (1-\nu)f(a)+\nu f(b)-f((1-\n\nu)a+\nu b) \leq \frac{1}{2}\nu(1-\nu)D(b-a)^2 $ 应用于算子平均。
• 通过代入 $ a = 1 $，$ b = x $，以及 $ X = A^{-1/2}BA^{-1/2} $，将标量不等式转化为算子形式，得到算子序不等式。
• 将结果应用于特定凸函数，如 $ f(t) = -\ln t $，$ f(t) = -t^p $，和 $ f(t) = t^p $，推导出以 $ \gamma $，$ \Gamma $，和 $ \nu $ 表示的显式界。
• 利用算子平均定义 $ A \sharp_\nu B = A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^\nu A^{1/2} $ 和 $ A \nabla_\nu B = (1-\nu)A + \nu B $，将不等式表达为标准算子形式。
• 推导出涉及 $ A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2} - I)^2A^{1/2} $ 的界，将算子平均的偏离与 $ f $ 的凸性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过凸函数的二阶导数有界性，推导出杨氏算子不等式的新型精化与逆向不等式？
• RQ2 Kantorovich比和Specht比如何提升算子不等式估计的紧致性？
• RQ3 标量精化中涉及 $ \nu(1-\nu)(a-b)^2 $ 和 $ \nu(1-\nu)(\ln a - \ln b)^2 $ 的算子版本是什么？
• RQ4 能否通过凸泛函和谱界，对加权算术平均与几何平均之间的差值进行有界控制？
• RQ5 这些不等式对特定凸函数 $ f(t) = -\ln t $ 和 $ f(t) = -t^p $ 有何影响？

主要发现

• 对于任意二阶导数有界于 $ d $ 和 $ D $ 的凸函数 $ f $，不等式 $$ \frac{1}{2}\nu(1-\nu)dA^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2}-I)^2A^{1/2} \leq (1-\nu)f(1)A + \nu A^{1/2}f(A^{-1/2}BA^{-1/2})A^{1/2} - A^{1/2}f((1-\nu)I + \nu A^{-1/2}BA^{-1/2})A^{1/2} \leq \frac{1}{2}\nu(1-\nu)DA^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2}-I)^2A^{1/2} $$ 对所有 $ \nu \in [0,1] $ 成立。
• 当 $ f(t) = -\ln t $ 时，不等式变为 $$ \frac{1}{2\Gamma^2}\nu(1-\nu)A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2}-I)^2A^{1/2} \leq A^{1/2}\left[\ln\left((1-\nu)I + \nu A^{-1/2}BA^{-1/2}\right)\right]A^{1/2} - \nu A^{1/2}\left[\ln\left(A^{-1/2}BA^{-1/2}\right)\right]A^{1/2} \leq \frac{1}{2\gamma^2}\nu(1-\nu)A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2}-I)^2A^{1/2} $$。
• 当 $ f(t) = -t^p $ 且 $ p \in (0,1) $ 时，在谱界 $ \gamma \leq A^{-1/2}BA^{-1/2} \leq \Gamma $ 下，有不等式 $$ p(1-p)\Gamma^{p-2}(\Gamma A^{1/2} - B A^{-1/2})(A^{-1/2}B - A^{1/2}\gamma) \leq A\sharp_p B - \frac{\Gamma A - B}{\Gamma - \gamma}\gamma^p - \frac{B - A\gamma}{\Gamma - \gamma}\Gamma^p \leq p(1-p)\gamma^{p-2}(\Gamma A^{1/2} - B A^{-1/2})(A^{-1/2}B - A^{1/2}\gamma) $$。
• 中点不等式中的常数 $ \frac{1}{8} $ 是最优的，如不等式所示： $$ \frac{1}{8}dA^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2}-I)^2A^{1/2} \leq \frac{1}{2}[f(1)A + A^{1/2}f(A^{-1/2}BA^{-1/2})A^{1/2}] - A^{1/2}f(\frac{I + A^{-1/2}BA^{-1/2}}{2})A^{1/2} \leq \frac{1}{8}DA^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2}-I)^2A^{1/2} $$。
• 结果推广了Furuichi、Tominaga、Liao、Zou以及Kittaneh–Manasrah的先前工作，整合了凸性与谱界。
• 所得到的算子不等式是紧致的，当 $ \nu = \frac{1}{2} $ 时退化为标量恒等式，与已知结果一致。