[论文解读] On nilpotent extensions of $\infty$-categories and the cyclotomic trace

Elden Elmanto, Vladimir Sosnilo|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 44被引用 4

一句话总结

本文通过使用幂零扩张和权结构，将邓达斯-古德威尔-麦卡锡（Dundas-Goodwillie-McCarthy, DGM）定理在循环迹上的结果推广到非单生成的稳定∞-范畴。通过在阿贝良∞-范畴中引入幂零扩张，并利用邦达尔科的权结构，作者建立了堆栈上截断不变量的cdh下降性，并证明了复数域上导出堆栈的布兰克格拉迪森猜想的新情形。

ABSTRACT

We do three things in this paper: (1) study the analog of localization sequences (in the sense of algebraic $K$-theory of stable $\infty$-categories) for additive $\infty$-categories, (2) define the notion of nilpotent extensions for suitable $\infty$-categories and furnish interesting examples such as categorical square-zero extensions, and (3) use (1) and (2) to extend the Dundas-Goodwillie-McCarthy theorem for stable $\infty$-categories which are not monogenically generated (such as the stable $\infty$-category of Voevodsky's motives or the stable $\infty$-category of perfect complexes on some algebraic stacks). The key input in our paper is Bondarko's notion of weight structures which provides a "ring-with-many-objects" analog of a connective $\mathbb{E}_1$-ring spectrum. As applications, we prove cdh descent results for truncating invariants of stacks extending the work of Hoyois-Krishna for homotopy $K$-theory, and establish new cases of Blanc's lattice conjecture.

研究动机与目标

• 将邓达斯-古德威尔-麦卡锡定理在循环迹上的结果，从环谱推广至缺乏单个紧生成元的稳定∞-范畴。
• 在阿贝良∞-范畴中定义并研究幂零扩张，包括范畴意义上的平方零扩张，作为经典幂零理想的推广。
• 通过扩展的DGM定理，建立代数堆栈上截断不变量的cdh下降性。
• 通过所发展的框架，证明复数域上导出堆栈的布兰克格拉迪森猜想的新情形。
• 在稳定∞-范畴的权心背景下，统一各类K-理论不变量（直接和、沃尔德豪泽、BGT）。

提出的方法

• 在阿贝良∞-范畴中引入幂零扩张的概念，推广环谱中基于理想的幂零性。
• 利用邦达尔科的权结构，建模“具有多个对象的环”类比于连通E1-环谱。
• 通过Verdier商与幂等完备化，构造阿贝良∞-范畴中的局部化序列。
• 应用莫里塔理论与ind-完备化，将阿贝良∞-范畴与具有紧生成元的稳定∞-范畴联系起来。
• 通过权结构将问题约化至已知情形，建立阿贝良∞-范畴中幂零扩张的DGM定理。
• 利用cdh下降与尼什涅维奇下降技术，将不变量扩展至堆栈，特别是导出堆栈与ANS堆栈。

实验结果

研究问题

• RQ1 DGM定理在循环迹上的结果能否推广至非单生成的稳定∞-范畴？
• RQ2 ∞-范畴中幂零理想的适当推广是什么？此类扩张应如何定义与研究？
• RQ3 cdh下降性是否在代数堆栈上截断不变量的古典情形之外仍成立？
• RQ4 布兰克格拉迪森猜想在复数域上导出堆栈的何种条件下成立？
• RQ5 在稳定∞-范畴的权心背景下，不同K-理论不变量（直接和、沃尔德豪泽、BGT）之间有何关系？

主要发现

• DGM定理被推广至阿贝良∞-范畴中的幂零扩张，为非单生成的稳定∞-范畴提供了框架。
• 作者证明了在满足特定几何条件的导出堆栈上，截断不变量具有cdh消去性，包括商堆栈与ANS堆栈。
• 对于形如[Y/G]的导出堆栈（其中Y仿射且G为半单代数群），以及复数域上光滑的ANS堆栈，布兰克格拉迪森猜想的新情形已得到验证。
• 对于有界权的稳定∞-范畴，其权心上的直接和、沃尔德豪泽与BGT K-理论不变量存在自然等价。
• 权心的连通K-理论被证明是非连通K-理论的连通覆盖。
• 该框架使得迹方法可应用于沃埃沃茨基动机与代数堆栈上的完美复形，此前这些对象超出了经典DGM定理的适用范围。