[论文解读] On non-abelian homomorphic public-key cryptosystems

D. Grigoriev, Ilia Ponomarenko|ArXiv.org|Jul 23, 2002

Cryptography and Data Security参考文献 11被引用 6

一句话总结

该论文通过利用有限生成群 G 到有限可解群 H 的满同态，首次构建了非阿贝尔同态公钥密码系统。它证明了所有非平凡有限可解群均属于支持此类密码系统的群类，从而将同态加密从阿贝尔群扩展至非阿贝尔代数结构，实现了在非阿贝尔代数结构中的秘密计算。

ABSTRACT

An important problem of modern cryptography concerns secret public-key computations in algebraic structures. We construct homomorphic cryptosystems being (secret) epimorphisms f:G --> H, where G, H are (publically known) groups and H is finite. A letter of a message to be encrypted is an element h element of H, while its encryption g element of G is such that f(g)=h. A homomorphic cryptosystem allows one to perform computations (operating in a group G) with encrypted information (without knowing the original message over H). In this paper certain homomorphic cryptosystems are constructed for the first time for non-abelian groups H (earlier, homomorphic cryptosystems were known only in the Abelian case). In fact, we present such a system for any solvable (fixed) group H.

研究动机与目标

• 开发一种支持在非阿贝尔群上进行秘密计算的同态公钥密码系统，扩展此前仅限于阿贝尔群的研究。
• 解决在明文群 H 为非阿贝尔且有限的条件下构建同态密码系统的挑战，确保安全性与计算可行性。
• 证明所有非平凡有限可解群均支持此类密码系统，从而扩大适用于同态加密的群类。
• 形式化一种基于群满同态 f: G → H 的同态加密框架，其中 G 为有限生成群，H 为有限群，通过 f 的原像实现加密。
• 为非阿贝尔代数结构中的秘密计算提供理论基础，特别是实现布尔电路与群论原 primitive。

提出的方法

• 将同态密码系统定义为三元组 (R, A, P)，其中 R 是 G 中 ker(f) 的右陪集代表元集合，A 是字的集合，P: A → ker(f) 是陷门函数。
• 利用满同态 f: G → H 将 G 中的密文映射到 H 中的明文，其中加密定义为 P(a)r，r ∈ R 且 a ∈ A。
• 通过定义 1.1 的条件，确保 G 和 H 中群运算、随机元素生成及逆元计算的多项式时间可计算性。
• 通过利用素数阶循环群的半直积构造密码系统，结合群扩张与雅列积的已知结果。
• 证明：对于 G_crypt 中任意非平凡子群 H′，其在 H ∈ G_crypt 中的提升 f⁻¹(H′) 也属于 G_crypt，从而继承成员资格。
• 利用正合列 A → G → H → 1 形式化结构，其中 P 为同态且 im(P) = ker(f)，以确保同态性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非阿贝尔有限群（特别是可解群）构建同态公钥密码系统？
• RQ2 群 H 的哪些结构性质是支持具有陷门函数的同态密码系统的必要且充分条件？
• RQ3 是否能通过群论构造将支持同态加密的群类扩展至阿贝尔群之外？
• RQ4 如何仅使用公开信息与隐藏的陷门，实现在非阿贝尔群中的秘密计算？
• RQ5 该框架能否推广以支持任意布尔电路或可解群中的群论计算？

主要发现

• 在定理 3.6 中已证明，支持同态密码系统的有限群类 G_crypt 包含所有非平凡有限可解群。
• 该构造基于满同态 f: G → H，其中 G 为有限生成群，H 为有限可解群，H 以乘法表表示。
• 对于任意 H ∈ G_crypt，存在同态密码系统 (R, A, P)，其加密为概率性，且解密需计算陷门函数 P⁻¹ 的逆。
• 该系统支持秘密计算：在 G 中对加密数据进行运算，可得到在 H 中正确解密的结果，而无需暴露明文。
• 该方法可推广至 H 的子群，通过将系统提升至 f⁻¹(H′)，确保 G_crypt 中所有可解群的子群也属于 G_crypt。
• 尽管构造具有理论性质，且由于雅列积可能导致表示规模呈指数增长，但当 H 较小时，该系统提供了多项式时间的加密与解密框架。