[论文解读] On non-autonomous maximal regularity for elliptic operators in divergence form

Pascal Auscher, Moritz Egert|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 12被引用 25

一句话总结

本文在 $ L^2(Ω) $ 中建立了非自伴椭圆型算子在散度形式下、具有时间依赖系数时的最大正则性，证明了对系数矩阵的分数阶 $ \frac{1}{2} $-导数施加一个尺度不变的 BMO 类条件，即可保证在 $ H = L^2(\Omega) $ 中的最大正则性，即使经典的 $ \alpha $-霍尔德连续性（$ \alpha > \frac{1}{2} $）不成立。该结果解决了先前研究遗留的临界情况，利用换位子估计与分数阶微积分处理时间导数。

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem for non-autonomous forms inducing elliptic operators in divergence form with Dirichlet, Neumann, or mixed boundary conditions on an open subset $\\Omega$ $\\subseteq$ R n. We obtain maximal regularity in L 2 ($\\Omega$) if the coefficients are bounded, uniformly elliptic, and satisfy a scale invariant bound on their fractional time-derivative of order one-half. Previous results even for such forms required control on a time-derivative of order larger than one-half.

研究动机与目标

• 解决非自伴散度型椭圆算子在 $ L^2(\Omega) $ 中时间 $ \frac{1}{2} $-正则性是否足以保证最大正则性的开放问题。
• 将先前要求形式或其时间导数具有 $ \alpha > \frac{1}{2} $-霍尔德连续性的结果加以推广。
• 在时间变化系数矩阵 $ A(t,x) $ 上建立一个精确的、尺度不变的条件，以确保在 $ H = L^2(\Omega) $ 中的最大正则性。
• 仅通过有界性、拟强制性与可测性，无需假设 $ H $ 的可分性，重新证明利翁斯在 $ V^* $ 中的最大正则性结果。

提出的方法

• 使用非自伴形式 $ \mathfrak{a}(t,v,w) = \int_\Omega A(t,x)\nabla v \cdot \overline{\nabla w}\,dx $ 定义时间依赖算子 $ \mathfrak{A}(t) \in \mathcal{L}(V,V^*) $。
• 应用时间延拓技术，将 $ f \in L^2(0,T;H) $ 与 $ A $ 延拓至 $ \mathbb{R} $，从而可在 $ \mathbb{R} $ 上使用全局索伯列夫空间。
• 采用分数阶时间导数 $ D_t^{1/2} $ 及其与系数矩阵 $ A $ 的换位子，利用默里（2015）的精确换位子估计以保证 $ L^2 $-有界性。
• 通过能量估计与 $ \|u\|_H^2 $ 的绝对连续性，证明扩展问题 $ u' + u + \mathfrak{A}u = e^t E_0f $（初始条件 $ u(0) = 0 $）在 $ H^1(\mathbb{R};H) \cap H^{1/2}(\mathbb{R};V) $ 中存在解 $ u $。
• 利用恒等式 $ \|u(0)\|_H^2 = -2\operatorname{Re}\int_{-\infty}^0 \langle u', u \rangle \, dt $ 证明初始数据为零，从而确保限制在 $ [0,T] $ 上可得到所需解。
• 通过 $ L^2(\mathbb{R};H) $ 上换位子 $ [A, D_t^{1/2}] $ 的有界性，建立在 $ H $ 中的最大正则性，该有界性提供了半个导数的增益。

实验结果

研究问题

• RQ1 时间上 $ \frac{1}{2} $-正则性的系数矩阵 $ A(t,x) $ 是否足以保证非自伴散度型椭圆算子在 $ L^2(\Omega) $ 中的最大正则性？
• RQ2 即使 $ \alpha > \frac{1}{2} $-霍尔德连续性不成立，是否也能在 $ H $ 中实现 $ \alpha = \frac{1}{2} $ 的临界情况下的最大正则性？
• RQ3 对于散度型算子，$ \mathfrak{A}(t) $ 的 $ \frac{1}{2} $-霍尔德连续性是否足以保证在 $ H $ 中的最大正则性？
• RQ4 能否在不假设 $ H $ 可分性的条件下，仅通过有界性与拟强制性，重新证明 $ V^* $ 中的抽象最大正则性结果？
• RQ5 在 $ A $ 上施加一个尺度不变的 BMO 类条件时，换位子 $ [A, D_t^{1/2}] $ 是否仍保持在 $ L^2(\mathbb{R};H) $ 上有界，从而在 $ H $ 中实现半个导数的增益？

主要发现

• 本文在系数矩阵 $ A(t,x) $ 的时间变化满足尺度不变的 BMO 类条件时，建立了非自伴散度型椭圆算子在 $ H = L^2(\Omega) $ 中的最大正则性，具体条件为 $ \sup_I \frac{1}{\ell(I)} \int_I \int_I \frac{|A(t,x) - A(s,x)|^2}{|t-s|} \, dt\,ds < \infty $ 几乎处处成立于 $ x \in \Omega $。
• 该条件是精确的，代表了临界情况 $ \alpha = \frac{1}{2} $，解决了法克勒关于 $ \frac{1}{2} $-正则性是否充分的开放问题。
• 对于复系数、可能非对称的系数，若系数矩阵满足上述类似条件，则在 $ H $ 中的最大正则性依然成立，且该条件直接作用于系数本身。
• 柯西问题的解 $ u $ 满足 $ \|u\|_{H^{1/2}(0,T;H)} + \|u\|_{H^1(0,T;V)} \leq C \|f\|_{L^2(0,T;H)} $，其中常数 $ C $ 依赖于 $ \lambda, \Lambda, M, T, n $ 以及 BMO 类常数 $ M $。
• 证明依赖于将 $ f $ 与 $ A $ 延拓至 $ \mathbb{R} $，在 $ \mathbb{R} $ 上求解问题，并通过能量估计与 $ \|u\|_H^2 $ 的绝对连续性证明 $ u(0) = 0 $，从而确保限制在 $ [0,T] $ 上可得到所需解。
• 换位子 $ [A, D_t^{1/2}] $ 在 $ L^2(\mathbb{R};H) $ 上的有界性是实现 $ H $ 中额外半个导数的关键机制，而该有界性由尺度不变的 BMO 类条件保证。