[论文解读] On non-commuting sets and centralizers in infinite group

Mohammad Zarrin|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2014

Finite Group Theory Research参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文证明了对于任意正整数 $ n $，满足 $ \omega(G) = n $ 的群（按同构类计）仅有有限多个，其中 $ \omega(G) $ 表示两两不交换元素的最大集合的大小。通过利用同构类关系以及 Pyber 和 Schur 的结果，作者证明此类群为中心-有限群，并存在有限代表元，从而在 $ \omega(G) \leq 20 $ 时达到精确的可解性阈值。该结果进一步推广至 $ \mathcal{C}_n $-群（即具有 $ n $ 个中心化子的群），表明其同构类有限，且在 $ n = 20 $ 时达到可解性阈值。

ABSTRACT

A subset X of a group G is a set of pairwise non-commuting ele- ments if ab 6= ba for any two distinct elements a and b in X. If jXj ? jY j for any other set of pairwise non-commuting elements Y in G, then X is said to be a maximal subset of pairwise non-commuting elements and the cardinality of such a subset is denoted by !(G). In this paper, among other thing, we prove that, for each positive integer n, there are only finitely many groups G, up to isoclinic, with !(G) = n (with exactly n centralizers).

研究动机与目标

• 按同构类对具有固定数量 $ n $ 个最大两两不交换元素的群进行分类。
• 建立对于任意给定的 $ \omega(G) = n $，仅有有限多个同构类存在的结论，尽管存在无穷多个群具有相同的 $ \omega(G) $。
• 通过同构类和有限代表元，将关于可解性和中心化子结构的结果推广至无限群。
• 利用同构类将先前关于 $ \mathcal{C}_n $-群（具有 $ n $ 个中心化子的群）的结果推广至无限群。
• 为满足 $ \omega(G) \leq 20 $ 的群提供精确的可解性阈值，表明 $ A_5 $ 是最小的非可解例子。

提出的方法

• 使用同构类作为群之间的等价关系，如引理 2.1 和引理 3.2 所建立，该关系保持 $ \omega(G) $ 和 $ |\mathcal{C}(G)| $ 不变。
• 应用 Pyber 的界：$ [G:Z(G)] \leq c^{\omega(G)} $，由此推出 $ G $ 是中心-有限群，且 $ G' $ 为有限群。
• 借助 Schur 定理推导出 $ G' $ 和 $ G/Z(G) $ 的有限性，从而将同构类限制为有限多种类型。
• 利用 Hall 定理：每个群都同构类于一个初等群（即满足 $ Z(K) \subseteq K' $ 的群），确保有限代表元的存在。
• 通过同构类将无限群的问题约化为有限群，从而可应用有限群理论中的已知分类结果。
• 利用 $ G/Z(G) $ 与 $ H/Z(H) $ 上的诱导同构，建立同构群中中心化子之间的双射，证明 $ |\mathcal{C}(G)| = |\mathcal{C}(H)| $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定的 $ n $，有多少个同构类的群 $ G $ 满足 $ \omega(G) = n $？
• RQ2 能否利用 $ \omega(G) $ 的有限性来推导 $ G $ 的可解性？该性质的精确阈值是什么？
• RQ3 在无限群中，中心化子的数量 $ |\mathcal{C}(G)| $ 与 $ G/Z(G) $ 的结构之间有何关系？
• RQ4 对于每个 $ n $，$ \mathcal{C}_n $-群是否仅有有限多个同构类？这些群能否被约化为有限代表元？
• RQ5 当 $ |\mathcal{C}(G)| = n $ 时，$ G/Z(G) $ 可能的同构类型有哪些？（针对较小的 $ n $）

主要发现

• 对于每个正整数 $ n $，仅有有限多个按同构类计的群满足 $ \omega(G) = n $，如定理 1.1(1) 所示。
• 每个满足 $ \omega(G) = n $ 的群 $ G $ 都同构类于一个有限群 $ K $，因此 $ \omega(G) = \omega(K) $，如定理 1.1(2) 所确立。
• 每个满足 $ \omega(G) \leq 20 $ 的群 $ G $ 都是可解的，且该界是精确的，因为 $ A_5 $ 满足 $ \omega(A_5) = 21 $，如定理 1.2 所示。
• 中心化子的数量 $ |\mathcal{C}(G)| $ 在同构类下保持不变，因此对于同构类的群 $ G $ 和 $ H $，有 $ |\mathcal{C}(G)| = |\mathcal{C}(H)| $，如引理 3.2 所示。
• 当 $ |\mathcal{C}(G)| \leq 20 $ 时，$ G $ 是可解的，且该界是精确的，将 [14] 中的定理 A 推广至无限群（定理 3.4）。
• 对于 $ n = 4, 5, 6, 7, 8 $，当 $ |\mathcal{C}(G)| = n $ 时，$ G/Z(G) $ 的结构被完全刻画，如定理 3.5 所示，利用有限代表元。