[论文解读] On non-existence of continuous families of stationary nonlinear modes for a class of complex potentials

Dmitry A. Zezyulin, Alexander Slobodyanyuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2021

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 47被引用 6

一句话总结

本文研究了在形如 W(x) = W1(x) + iCW1,x(x) 的复势阱 W-dW 势中，是否存在连续的驻态非线性模态族。通过渐近分析与数值模拟，作者发现并不存在真正的连续模态族；相反，他们识别出一类‘伪模态’，这些模态在 ε² 阶误差范围内满足非线性薛定谔方程，且在小势阱振幅下表现出稳健、持续的振荡。真正的模态仅以孤立点存在，且在动力学上不稳定。

ABSTRACT

There are two cases when the nonlinear Schr\"odinger equation (NLSE) with an external complex potential is well-known to support continuous families of localized stationary modes: the ${\cal PT}$-symmetric potentials and the Wadati potentials. Recently Y. Kominis and coauthors [Chaos, Solitons and Fractals, 118, 222-233 (2019)] have suggested that the continuous families can be also found in complex potentials of the form $W(x)=W_{1}(x)+iCW_{1,x}(x)$, where $C$ is an arbitrary real and $W_1(x)$ is a real-valued and bounded differentiable function. Here we study in detail nonlinear stationary modes that emerge in complex potentials of this type (for brevity, we call them W-dW potentials). First, we assume that the potential is small and employ asymptotic methods to construct a family of nonlinear modes. Our asymptotic procedure stops at the terms of the $\varepsilon^2$ order, where small $\varepsilon$ characterizes amplitude of the potential. We therefore conjecture that no continuous families of authentic nonlinear modes exist in this case, but "pseudo-modes" that satisfy the equation up to $\varepsilon^2$-error can indeed be found in W-dW potentials. Second, we consider the particular case of a W-dW potential well of finite depth and support our hypothesis with qualitative and numerical arguments. Third, we simulate the nonlinear dynamics of found pseudo-modes and observe that, if the amplitude of W-dW potential is small, then the pseudo-modes are robust and display persistent oscillations around a certain position predicted by the asymptotic expansion. Finally, we study the authentic stationary modes which do not form a continuous family, but exist as isolated points. Numerical simulations reveal dynamical instability of these solutions.

研究动机与目标

• 研究 W-dW 复势中是否存在连续的驻态非线性模态族，该类势阱由 Kominis 等人近期提出，可能支持此类模态。
• 检验在小振幅 W-dW 势中，非线性模态渐近构造的有效性。
• 分析所发现解的动力学行为，特别是其稳定性与时间演化下的持久性。
• 比较伪模态（近似解）与真实孤立驻态模态的特性。
• 阐明保守系统（支持连续模态族）与具有复势的耗散系统（通常仅支持孤立模态）之间的结构差异。

提出的方法

• 采用至 ε² 阶的渐近展开技术，其中 ε 表征 W-dW 势的小振幅。
• 从驻态非线性薛定谔方程推导出波函数 φ(x) = u(x) + iv(x) 的实部与虚部之间的耦合常微分方程组。
• 应用梅尔尼科夫向量分析方法，评估在 ε = 0 情况下小扰动下同宿轨道（孤立波）的持久性。
• 对伪模态的时间演化进行数值模拟，以评估其动力学鲁棒性与振荡行为。
• 使用数值延拓方法定位并分析不构成连续族的孤立驻态模态。
• 通过直接数值时间积分比较伪模态与真实孤立模态的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 正如 Kominis 等人所建议的那样，W-dW 势中是否存在连续的驻态非线性模态族？
• RQ2 渐近方法能否在 W-dW 势中构造出至 ε² 阶的非线性薛定谔方程解的连续族？
• RQ3 通过渐近展开所获得的解是否真正为物理上的非线性模态，还是仅是近似的‘伪模态’？
• RQ4 当势阱振幅较小时，这些伪模态在时间演化下是否表现出稳定且持久的振荡？
• RQ5 以孤立点存在的真实驻态模态在动力学上是稳定还是不稳定？

主要发现

• 在 W-dW 势中并不存在真正的连续非线性模态族；渐近构造在 ε² 阶之后失效，表明此类模态族并不存在。
• 渐近方法产生‘伪模态’，其在驻态方程中满足至 ε² 阶误差，表明其为近似解而非精确解。
• 数值模拟表明，当势阱振幅较小时，伪模态保持鲁棒性，并在渐近展开所预测的位置附近持续振荡。
• 真实驻态模态仅在参数空间中以孤立点存在，数值模拟证实其在动力学上不稳定。
• 伪模态在小扰动下被发现具有动力学稳定性，而真实孤立模态则不稳定，凸显了二者行为的关键差异。
• 结果支持如下假设：W-dW 势不支持非线性模态的连续族，与早期建议相反。