[论文解读] On Non-Perturbative Modular Transformation

Khurram Shabbir|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2015

Black Holes and Theoretical Physics被引用 1

一句话总结

本文研究了在toric椭圆纤维化Calabi-Yau三fold上的精化拓扑弦分割函数，表明亏格 $ g $ 的自由能等于权 $ 2g $ 的Eisenstein级数，且尽管单个自由能具有模不变性，但完整的分割函数满足非微扰模变换，表明模性被非微扰效应所修正。

ABSTRACT

We study the refined topological string partition function of a class of toric elliptically fibered Calabi-Yau threefolds. These Calabi-Yau threefolds give rise to five dimensional quiver gauge theories and are dual to configurations of M5-M2-branes. We determine the Gopakumar-Vafa invariants for these threefolds and show that the genus $g$ free energy is given by the weight $2g$ Eisenstein series. We also show that although the free energy at all genera are modular invariant the full partition function satisfies the non-perturbative modular transformation property discussed by Lockhart and Vafa in arXiv:1210.5909 and therefore the modularity of free energy is up to non-perturbative corrections.

研究动机与目标

• 确定一类toric椭圆纤维化Calabi-Yau三fold的Gopakumar-Vafa不变量。
• 分析精化拓扑弦理论中亏格 $ g $ 自由能的模性质。
• 研究完整的分割函数是否满足Lockhart和Vafa提出的非微扰模变换律。
• 澄清在分割函数中，微扰模性与非微扰修正之间的关系。

提出的方法

• 本研究采用toric Calabi-Yau三fold上具有椭圆纤维化的精化拓扑弦分割函数。
• 通过五维quiver规范场论的几何工程方法计算Gopakumar-Vafa不变量。
• 通过模形式分析，将亏格 $ g $ 自由能识别为权 $ 2g $ 的Eisenstein级数。
• 利用Lockhart和Vafa的框架（arXiv:1210.5909）分析非微扰模变换。
• 分析区分了单个自由能的微扰模性与完整分割函数中非微扰修正的影响。
• 利用Calabi-Yau几何与M5-M2-brane构型之间的对偶性来支持物理一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在精化拓扑弦框架下，如何确定toric椭圆纤维化Calabi-Yau三fold的Gopakumar-Vafa不变量？
• RQ2 在这一类Calabi-Yau流形中，亏格 $ g $ 自由能的模结构是什么？
• RQ3 完整的精化分割函数是否满足Lockhart和Vafa的非微扰模变换律？
• RQ4 当引入非微扰修正时，自由能的模性在多大程度上得以保持？
• RQ5 M5-M2-brane的物理构型如何与分割函数的模性质相关联？

主要发现

• 所研究的Calabi-Yau三fold的亏格 $ g $ 自由能恰好是权 $ 2g $ 的Eisenstein级数。
• 这些三fold的Gopakumar-Vafa不变量通过精化拓扑弦计算被完全确定。
• 尽管每个亏格 $ g $ 自由能都是模不变的，但完整的分割函数在微扰意义上并非模不变。
• 完整的分割函数满足Lockhart和Vafa定义的非微扰模变换性质。
• 因此，自由能的模性被非微扰效应所修正，表明在完整分割函数层面，朴素的模不变性被破坏。
• 结果与五维quiver规范场论及M5-M2-brane构型的对偶描述一致。