[论文解读] On Non-uniqueness of Hölder continuous globally dissipative Euler flows

Camillo De Lellis, Hyunju Kwon|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2020

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用 4

一句话总结

本文证明了三维不可压缩欧拉方程存在全局耗散的弱解，其 Hölder 连续性指数 α < 1/7，且严格耗散动能。通过采用具有不相交时空支撑的 Mikado 流的凸积分方法，作者构造了解，这些解在低于 Onsager 临界值的 Hölder 正则性下仍违反能量守恒，从而在耗散类中证明了非唯一性。

ABSTRACT

We show that for any $\al&lt;\frac 17$ there exist $\al$-Hölder continuous weak solutions of the three-dimensional incompressible Euler equation, which satisfy the local energy inequality and strictly dissipate the total kinetic energy. The proof relies on the convex integration scheme and the main building blocks of the solution are various Mikado flows with disjoint supports in space and time.

研究动机与目标

• 通过构造三维不可压缩欧拉方程的 Hölder 连续、全局耗散解，解决 Onsager 猜想的更强版本。
• 在 Hölder 连续、全局耗散的欧拉流类中，证明弱解的非唯一性。
• 将先前的凸积分构造方法拓展，以实现更高的正则性，同时保持严格的能量耗散。
• 为粘性系数趋于零时 Navier-Stokes 解的无粘极限中的异常耗散提供严格的理论框架。

提出的方法

• 采用凸积分方法，构建具有受控 Hölder 正则性和能量耗散的弱解。
• 构造具有不相交时空支撑的 Mikado 流，以确保能量耗散而不损害正则性。
• 使用递归迭代方案校正 Euler-Reynolds 方程，保持能量不等式和 Hölder 估计。
• 通过 Littlewood-Paley 投影实现频率局部化和交换子估计，以控制误差项。
• 在时间区间内对流场进行正则化，以在迭代过程中保持 Hölder 连续性和能量耗散。
• 利用交换子估计和频率局部化，控制能量不等式中非线性误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 Hölder 正则性低于 Onsager 临界值的三维欧拉方程，是否存在全局耗散的弱解？
• RQ2 在 Hölder 连续、全局耗散的欧拉解类中，非唯一性是否可能成立？
• RQ3 凸积分方法能否被调整，以构造出严格耗散能量但保持 Hölder 正则性的解？
• RQ4 此类耗散解能否作为粘性系数趋于零的合适 Navier-Stokes 解的极限获得？
• RQ5 在欧拉方程中，非唯一性与严格能量耗散共存的最优 Hölder 指数 α 是多少？

主要发现

• 对于任意 α < 1/7，在 Hölder 空间 C^α([0,T]×𝕋³) 中，三维不可压缩欧拉方程存在全局耗散的弱解。
• 所构造的解满足具有严格耗散的局部能量不等式：∫|v|²/2(T,x)dx < ∫|v|²/2(0,x)dx。
• 已确立非唯一性：对于相同的初始数据和 Hölder 正则性，存在无穷多个不同的全局耗散解。
• 该构造依赖于具有空间和时间不相交支撑的 Mikado 流，以确保能量耗散而不损害 Hölder 正则性。
• 该方法将先前的凸积分方案拓展，实现了更高的正则性，同时保持了严格的能量耗散。
• 结果表明，局部能量不等式和 Hölder 正则性不足以恢复欧拉方程的唯一性。