[论文解读] On noncommutative and commutative equivalence for BFYM theory : : Seiberg-Witten map

H. Benaoum|ArXiv.org|Apr 1, 2000

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 5

一句话总结

本文在 $\mathbb{R}^4$ 上构建了非交换与交换 BFYM 理论之间的 Seiberg-Witten 规范等价映射，表明非交换作用量可表示为普通场的函数，仅含高阶维度的规范不变项。对于 $U(1)$ BFYM 理论，该映射通过非对易参数 $\theta$ 的幂级数显式关联了非交换场与交换场，非交换作用量等价于涉及 $\frac{1}{1+iB\theta}B$ 和 $\frac{1}{1+iF\theta}F$ 的形变交换作用量，仅相差全导数项与 $O(\theta^2)$ 修正项。

ABSTRACT

BFYM on commutative and noncommutative ${\mathbb{R}}^4$ is considered and a Seiberg-Witten gauge-equivalent transformation is constructed for these theories. Then we write the noncommutative action in terms of the ordinary fields and show that it is equivalent to the ordinary action up to higher dimensional gauge invariant terms.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^4$ 上建立非交换与交换 BFYM 理论之间的规范等价映射。
• 证明非交换 BFYM 可通过 Seiberg-Witten 映射用普通场表示。
• 表明非交换作用量与形变交换作用量等价，仅相差全导数项与 $O(\theta^2)$ 修正项。
• 阐明非交换与交换 BFYM 的物理等价性源于同一基础场论的不同正则化方案。

提出的方法

• 通过求解非对易参数 $\theta$ 的无穷小变化对应的微分方程，利用 Moyal $\ast$-乘积的一阶展开，构造 Seiberg-Witten 映射。
• 推导非交换场 $\hat{A}_i$、$\hat{B}_{ij}$ 和 $\hat{F}_{ij}$ 的规范变换规则，以交换场 $A_i$、$B_{ij}$ 和 $F_{ij}$ 表示，至 $O(\theta^2)$ 阶。
• 通过将 Seiberg-Witten 映射代入非交换拉格朗日量，将非交换 BFYM 作用量 $\hat{S}$ 表示为普通场的函数。
• 利用恒等式 $\frac{1}{1+iF\theta}F$ 和 $\frac{1}{1+iB\theta}B$，将非交换场重新表达为交换场的形变版本。
• 推导规范参数 $\hat{\lambda}$ 的变换，并在 $\theta$ 的一阶下验证其与规范代数的一致性。
• 验证所得非交换作用量与交换作用量仅相差全导数项与高阶 $\theta$ 修正项，从而保持规范不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\mathbb{R}^4$ 上构建 Seiberg-Witten 映射，以关联非交换与交换 BFYM 理论？
• RQ2 在 $\theta$ 的一阶下，非交换规范场 $\hat{A}_i$、$\hat{B}_{ij}$ 和 $\hat{F}_{ij}$ 如何与它们的交换对应量 $A_i$、$B_{ij}$ 和 $F_{ij}$ 相关联？
• RQ3 非交换 BFYM 作用量是否等价于形变的交换 BFYM 作用量？若是，其形变形式为何？
• RQ4 $\frac{1}{1+iF\theta}F$ 和 $\frac{1}{1+iB\theta}B$ 的重定义在非交换与交换形式的等价性中起何作用？
• RQ5 该等价性是否可理解为源于同一基础场论的不同正则化方案？

主要发现

• BFYM 理论的 Seiberg-Witten 映射通过 $\theta$ 的幂级数将非交换场与交换场关联，且已推导出至 $O(\theta^2)$ 阶的显式表达式。
• 对于 $U(1)$ BFYM，非交换规范场为 $\hat{A}_i = A_i - \frac{i}{2}\theta^{kl}A_k(\partial_l A_i + F_{li}) + O(\theta^2)$，规范参数变换为 $\hat{\lambda} = \lambda + \frac{i}{2}\theta^{kl}\partial_k\lambda A_l + O(\theta^2)$。
• 非交换场强变换为 $\hat{F}_{ij} = F_{ij} + i\theta^{kl}(F_{ik}F_{jl} - A_k\partial_l F_{ij}) + O(\theta^2)$。
• 非交换作用量 $\hat{S}$ 等价于包含 $\frac{1}{1+iB\theta}B$ 和 $\frac{1}{1+iF\theta}F$ 的形变交换作用量，修正项仅表现为全导数与 $O(\theta^2)$ 项。
• 该等价性在作用量层面成立，非交换理论在场重新定义下与修正的交换理论物理等价。
• 对于常数场，该映射简化为 $\hat{B}_{ij} = \frac{1}{1+iB\theta}B_{ij}$ 与 $\hat{F}_{ij} = \frac{1}{1+iF\theta}F_{ij}$，与微分方程方法一致，验证了其一致性。