[论文解读] On nonhomogeneous elliptic equations with the Hardy-Leray potentials

Huyuan Chen, Alexander Quaas+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 34被引用 20

一句话总结

本文为带有 Hardy-Leray 位势的非齐次椭圆方程解建立了改进的分布恒等式，使得可通过 Dirac 测度精确刻画孤立奇点。证明了在某些非齐次问题中不存在非负解，并在位势满足 Hardy 型下界时，证明了主特征值的不存在性。

ABSTRACT

In this paper, we present some suitable distributional identities of the solutions for nonhomogeneous elliptic equations involving the Hardy-Leray potentials and study qualitative properties of the solutions to the corresponding nonhomogeneous problems by the distributional identities. We address some applications on the nonexistence of some nonhomogeneous problems with the Hardy-Leray potentials and the nonexistence principle eigenvalue with some indefinite potentials.

研究动机与目标

• 为涉及 Hardy-Leray 位势的非齐次椭圆方程解建立改进的分布恒等式，克服标准测试函数空间的局限性。
• 通过 Dirac 测度表示法刻画孤立奇点，尤其区分 Hardy 算子的基本解。
• 为带有 Hardy-Leray 位势的非齐次问题建立非负解的不存在性结果。
• 研究当位势满足 Hardy 型下界时，Schrödinger 型方程中主特征值的不存在性。
• 扩展分布方法在奇异椭圆问题中的适用性，特别是在经典或变分方法因强奇异性而失效时。

提出的方法

• 引入使用 $ C^∞_c(\Omega \setminus \{0\}) $ 中测试函数的修正分布恒等式，使奇异解的分析成为可能。
• 分析 Hardy 算子 $ \mathcal{L}_\mu = -\Delta + \mu |x|^{-2} $ 的基本解 $ \Phi_\mu $ 和 $ \Gamma_\mu $，推导出 $ \tau_{\pm}(\mu) $ 的显式公式。
• 定义形式伴随算子 $ \mathcal{L}^*_\mu = -\Delta - \frac{2\tau_+(\mu)}{|x|^2} x \cdot \nabla $ 以导出对偶恒等式。
• 应用上下解方法在具有奇异位势的有界区域中构造解。
• 利用 Green 函数 $ G_\mu $ 及其在原点附近的行为推导比较估计。
• 基于 $ G_\mu $ 在 $ H^1_0 $ 空间中的可积性性质，采用反证法证明不存在性定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否改进分布恒等式以捕捉带有 Hardy-Leray 位势的椭圆方程解的孤立奇点？
• RQ2 在何种条件下，带有 Hardy-Leray 位势的非齐次椭圆问题不承认非负解？
• RQ3 在有界区域中，当位势满足 $ a_0 |x|^{-2} $ 下界时，Schrödinger 算子 $ -\Delta u = \lambda V u $ 的主特征值是否存在？
• RQ4 在分布意义下，基本解 $ \Phi_\mu $ 和 $ \Gamma_\mu $ 如何表现？能否通过对偶性加以区分？
• RQ5 临界 Hardy 常数 $ \mu_0 = -(N-2)^2/4 $ 在解与特征值的不存在性中起什么作用？

主要发现

• 本文建立了涉及伴随算子 $ \mathcal{L}^*_\mu $ 的新分布恒等式，可通过 Dirac 测度精确追踪奇点。
• 若 $ \mu > \mu_0 $ 且 $ g $ 在原点附近满足特定增长条件，则问题 $ \mathcal{L}_\mu u = g $ 不存在非负解。
• 当 $ N \geq 3 $ 时，在 $ g $ 满足适当假设下，非齐次问题 $ \mathcal{L}_\mu u = g $ 在 $ \mu > \mu_0 $ 时不存在非平凡非负解。
• 在 $ N = 2 $ 的情形下，通过对数估计与 Green 函数的比较，同样得到该不存在性结果。
• 若 $ V(x) \geq a_0 |x|^{-2} $ 对某个 $ a_0 > 0 $ 成立，则在 $ H^1_0(\Omega) $ 中，主特征值问题 $ -\Delta u = \lambda V u $ 无解，即使 $ \lambda a_0 > -\mu_0 $。
• 当 $ \mu > \mu_0 $ 时，与 $ \mathcal{L}_\mu $ 相关的 Green 函数 $ G_\mu $ 不属于 $ H^1_0(\Omega) $，这是证明不存在性的关键。