[论文解读] On nonpermutational transformation semigroups with an application to syntactic complexity

Szabolcs Iván, Judit Nagy-György|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2014

semigroups and automata theory参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文为全变换半群 $ T_n $ 中仅由非置换变换组成的子半群的大小建立了上界 $ n((n-1)! - (n-3)!) $。作为应用，该上界也被用作广义确定性语言的语法复杂性的上界，为理解该语言类在点深度层次结构中的复杂性提供了重要进展。

ABSTRACT

We give an upper bound of $n((n-1)!-(n-3)!)$ for the possible largest size of a subsemigroup of the full transformational semigroup over $n$ elements consisting only of nonpermutational transformations. As an application we gain the same upper bound for the syntactic complexity of (generalized) definite languages as well.

研究动机与目标

• 确定仅由非置换变换组成的 $ T_n $ 的子半群大小的上界。
• 将该上界应用于广义确定性语言的语法复杂性，后者是无星语言的一个子类。
• 基于其最小自动机，提供广义确定性语言的禁止模式特征刻画。
• 分析判断给定自动机是否识别广义确定性语言的计算复杂性。
• 表明尽管自动机结构不同，广义确定性语言的语法复杂性仍与确定性语言相同。

提出的方法

• 作者将非置换变换定义为满足 $ Xf = X $ 时必有 $ |X| = 1 $ 的变换，并分析其在 $ T_n $ 中的代数结构。
• 他们引入提升函数的概念，并利用其从给定的最小自动机 $ \mathbb{A} $ 构造一个简化自动机 $ \mathbb{B} $，同时保持语法结构。
• 该构造通过将来自不相交状态集的函数进行源元组化，定义一个新的变换半群 $ \mathcal{T}' $，并确保 $ |\mathcal{T}'| \geq |\mathcal{T}| $。
• 他们证明，若原始自动机 $ \mathbb{A} $ 避免特定的禁止模式 $ P_g $，则所构造的自动机 $ \mathbb{B} $ 避免 $ P_d $，从而表明其识别的是确定性语言。
• 他们使用对数空间归约证明，广义确定性语言的判定问题是 $ \mathbf{NL} $-完全的，并在 RAM 机器上给出一个确定性的 $ \mathcal{O}(n^2) $-时间算法。
• 关键技术步骤是证明广义确定性语言的语法复杂性受与确定性语言相同的表达式限制，这依赖于其最小自动机的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅由非置换变换组成的 $ T_n $ 的子半群的最大可能大小是多少？
• RQ2 能否利用其最小自动机的结构特性，对广义确定性语言的语法复杂性进行上界估计？
• RQ3 是否存在一种最小自动机转移结构中的禁止模式，可用来刻画广义确定性语言？
• RQ4 判断给定自动机是否识别广义确定性语言的计算复杂性是多少？
• RQ5 尽管自动机结构不同，广义确定性语言的语法复杂性是否与确定性语言相同？

主要发现

• 本文为仅由非置换变换组成的 $ T_n $ 的任意子半群的大小建立了上界 $ n((n-1)! - (n-3)!) $。
• 该上界也被证明是广义确定性语言语法复杂性的上界，与已知的确定性语言上界一致。
• 作者基于最小自动机的转移结构，提供了广义确定性语言的禁止模式特征刻画，具体为避免某种模式 $ P_g $。
• 他们证明，给定自动机是否识别广义确定性语言的判定问题在对数空间归约下为 $ \mathbf{NL} $-完全。
• 他们提出了一种在 RAM 机器上运行的确定性 $ \mathcal{O}(n^2) $-时间算法，用于判断某语言是否属于广义确定性语言类。
• 尽管自动机结构存在差异，广义确定性语言的语法复杂性被证明与确定性语言相同。