[论文解读] On normal subgroups in the fundamental groups of complex surfaces

Michael Kapovich|ArXiv.org|Aug 18, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 35

一句话总结

该论文证明：若一个双曲曲面群与一个有限表示的正规子群构成短正合列的中间项，且其基本群为一个单连通复曲面的基本群，则该曲面可被非奇异全纯纤维化至该双曲曲面。关键贡献在于证明复双曲曲面无法具有此类纤维化，从而首次构造出 $PU(2,1)$ 中的非一致非相干均匀格，解决了关于 Gromov 双曲群能否嵌入此类短正合列的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

We show that for each aspherical compact complex surface $X$ whose fundamental group $π$ fits into a short exact sequence $$ 1 o K o π o π_1(S) o 1 $$ where $S$ is a compact hyperbolic Riemann surface and the group $K$ is finitely-presentable, there is a complex structure on $S$ and a nonsingular holomorphic fibration $f: X o S$ which induces the above short exact sequence. In particular, the fundamental groups of compact complex-hyperbolic surfaces cannot fit into the above short exact sequence. As an application we give the first example of a non-coherent uniform lattice in $PU(2,1)$.

研究动机与目标

• 建立对具有特定短正合列结构的紧致双曲复曲面基本群的限制。
• 构造 $PU(2,1)$ 中第一个非相干均匀格，即复双曲 2-空间的等距群。
• 证明问题 1 的答案——即 Gromov 双曲群能否嵌入一个短正合列 $1 \to K \to \pi \to Q \to 1$，其中 $K$ 和 $Q$ 均为闭合双曲曲面群——在 $PU(2,1)$ 的均匀格类中为否定。
• 证明在给定的群论条件下，复双曲曲面的基本群不能来自一个双曲黎曼曲面上的全纯纤维化。

提出的方法

• 利用 Milnor 纤维化及全纯映射的性质，分析奇异纤维附近的局部与整体单值变换行为。
• 应用 $L^2$-贝蒂数，并假设 $ olinebreak[4]\beta_1^{(2)}(Q) \neq 0$，以确保 $Q$ 是双曲曲面群。
• 将问题约化为：存在一个诱导给定基本群短正合列的非奇异全纯纤维化 $f: X \to S$。
• 利用 Kodaira 分类定理，在给定假设下推导出 $X$ 为复代数曲面。
• 通过 Livne 的表示构造 $PU(2,1)$ 中的一个均匀格 $ olinebreak[4]\tilde{\rho}$，其包含一个正规、有限生成但非有限表示的子群 $K$。
• 反证法证明：假设 $K$ 是有限表示的，将导致全纯纤维化，但根据已知结果，复双曲曲面不可能具有此类纤维化。

实验结果

研究问题

• RQ1 Gromov 双曲群 $\pi$ 能否嵌入短正合列 $1 \to K \to \pi \to Q \to 1$，其中 $K$ 和 $Q$ 均为闭合双曲曲面群？
• RQ2 复双曲曲面是否可纤维化至双曲黎曼曲面？
• RQ3 $PU(2,1)$ 中是否存在非相干均匀格？
• RQ4 若 $PU(2,1)$ 中均匀格的正规子群 $K$ 有限生成，且商群为双曲曲面群，则 $K$ 是否可为有限表示？

主要发现

• 若一个双曲曲面的基本群 $ olinebreak[4]\pi_1(S)$ 与一个有限表示的子群 $K$ 构成短正合列 $1 \to K \to \pi \to \pi_1(S) \to 1$，且 $S$ 为紧致双曲黎曼曲面，则 $X$ 可被非奇异全纯纤维化至 $S$。
• 复双曲曲面无法具有此类纤维化，因此其基本群不能嵌入此类短正合列中，且 $K$ 为有限表示。
• 通过 Livne 的表示构造出 $PU(2,1)$ 中第一个非相干均匀格，其包含一个正规、有限生成但非有限表示的子群。
• 所构造格中的子群 $K$ 并非有限表示，其证明采用反证法：假设其为有限表示将导致全纯纤维化，但复双曲曲面不可能具有此类纤维化。
• 该结果在 $Q$ 无挠且 $L^2$-贝蒂数 $ olinebreak[4]\beta_1^{(2)}(Q) \neq 0$，且 $X$ 为 Kähler 流形的假设下成立。
• 该证明可推广至 $K$ 为 $FP_2$ 型，而非必须有限表示的情形。