[论文解读] On notions of distortion and an almost minimum spanning tree with constant average distortion

Yair Bartal, Arnold Filtser+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用 1

一句话总结

本文提出了一种生成树构造方法，可在保持生成树权重不超过最小生成树（MST）权重的 (1 + ρ) 倍的同时，实现常数平均畸变（即近似保持成对距离）。该方法利用了一种新颖的低权重聚类图，其具有优先畸变特性，从而可对特定节点对实现更优的畸变表现，并建立了一种通用的转换机制，将优先畸变与缩放畸变联系起来，最终实现了具有最优优先畸变特性的欧几里得空间嵌入。

ABSTRACT

Minimum Spanning Trees of weighted graphs are fundamental objects in numerous applications. In particular in distributed networks, the minimum spanning tree of the network is often used to route messages between network nodes. Unfortunately, while being most efficient in the total cost of connecting all nodes, minimum spanning trees fail miserably in the desired property of approximately preserving distances between pairs. While known lower bounds exclude the possibility of the worst case distortion of a tree being small, it was shown in [4] that there exists a spanning tree with constant average distortion. Yet, the weight of such a tree may be significantly larger than that of the MST. In this paper, we show that any weighted undirected graph admits a spanning tree whose weight is at most (1 + ρ) times that of the MST, providing constant average distortion O(1/ρ2).1The constant average distortion bound is implied by a stronger property of scaling distortion, i.e., improved distortion for smaller fractions of the pairs. The result is achieved by first showing the existence of a low weight spanner with small prioritized distortion, a property allowing to prioritize the nodes whose associated distortions will be improved. We show that prioritized distortion is essentially equivalent to coarse scaling distortion via a general transformation, which has further implications and may be of independent interest. In particular, we obtain an embedding for arbitrary metrics into Euclidean space with optimal prioritized distortion.

研究动机与目标

• 为解决最小生成树在保持成对距离方面存在的局限性，尽管其总权重最优。
• 构造一种具有有界平均畸变但相对于 MST 保持近似最优权重的生成树。
• 引入并利用聚类图中优先畸变的概念，以实现对特定节点对的更优畸变表现。
• 建立优先畸变与缩放畸变之间的通用转换关系，揭示其更深层次的结构联系。
• 作为副产品，推导出将任意度量空间嵌入欧几里得空间并实现最优优先畸变的方法。

提出的方法

• 设计一种具有优先畸变特性的低权重聚类图，其中对指定节点子集的畸变得到改善。
• 引入缩放畸变的概念，其对更小比例的节点对提供更优的畸变表现，并证明其可导致常数平均畸变。
• 通过一种通用转换技术，证明优先畸变与粗粒度缩放畸变本质上是等价的。
• 利用该转换方法，推导出一种生成树，其权重不超过 MST 权重的 (1 + ρ) 倍，且平均畸变为 O(1/ρ²)。
• 利用相同框架，构建将任意度量空间嵌入欧几里得空间并实现最优优先畸变的嵌入方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种生成树，使其在权重接近最优的同时，平均畸变为常数？
• RQ2 如何利用聚类图中的优先畸变特性，以在生成树中实现更优的平均畸变？
• RQ3 优先畸变与缩放畸变之间存在何种关系？能否将其形式化为一种通用转换？
• RQ4 该框架能否扩展至生成任意度量空间到欧几里得空间的嵌入，并提供最优畸变保证？
• RQ5 在加权图的生成树中，树的权重与平均畸变之间存在何种权衡关系？

主要发现

• 任意加权无向图均存在一种生成树，其权重不超过 MST 权重的 (1 + ρ) 倍，且平均畸变为 O(1/ρ²)。
• 存在一种具有优先畸变特性的低权重聚类图，可由此构造出此类生成树。
• 通过一种通用转换，优先畸变与缩放畸变本质上是等价的，该结果本身可能具有独立研究价值。
• 该框架可导出将任意度量空间嵌入欧几里得空间并实现最优优先畸变的嵌入方法。
• 与先前构造相比，该结果在更优地平衡权重与平均畸变方面优于以往方法。
• 缩放畸变特性确保畸变不仅在平均意义上受控，且对更小比例的节点对表现更优。