[论文解读] On notions of representability for cylindric-polyadic algebras, and a solution to the finitizability problem for quantifier logics with equality

Tarek Sayed Ahmed|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Advanced Algebra and Logic参考文献 25被引用 2

一句话总结

本文引入了一类带有等式的柱状-多面体代数，记为 CPEAT，其基于变换映射的丰富子半群 T，证明了该类中的可表示性等价于通过受保护语义的纯集代数表示。关键贡献在于解决了带有等式的首阶逻辑的有限公理化问题，当 T 有限表示时，确立了有限公理化与典范性质。

ABSTRACT

We consider countable so-called rich subsemigroups of ( ! !,◦); each such semigroup T gives a variety CPEAT that is axiomatizable by a finite schema of equations taken in a countable subsignature of that of !-dimensional cylindric- polyadic algebras with equality where substitutions are restricted to maps in T. It is shown that for any such T, A ∈ CPEAT ⇐⇒ A is representable as a concrete set algebra of !-ary relations. The operations in the signature are set-theoretically interpreted like in polyadic equality set algebras, but such operations are relativized to a union of cartesian spaces that are not necessarily disjoint. This is a form of guarding semantics. We show that CPEAT is canonical and atom-canonical. Imposing an extra condition on T, we prove that atomic algebras in CPEAT are completely representable and that CPEAT has the super amalgamation property. If T is rich and finitely represented, it is shown that CPEAT is term definitionally equivalent to a finitely axiomatizable Sahlqvist variety. Such semigroups exist. This can be regarded as a solution to the central finitizability problem in algebraic logic for first order logic with equality if we do not insist on full fledged commutativity of quantifiers. The finite dimensional case is approached from the view point of guarded and clique guarded (relativized) semantics of fragments of first order logic using finitely many variables. Both positive and negative results are presented.

研究动机与目标

• 解决带有等式的首阶逻辑在代数逻辑中的核心有限公理化问题。
• 构建一个带有等式的柱状-多面体代数的有限公理化种类，其能捕捉首阶逻辑而不需完整量词交换性。
• 通过使用受保护语义的 n 元关系的纯集代数，建立该种类中代数的可表示性。
• 在基于丰富半群 T 的前提下，证明种类 CPEAT 的典范性与原子典范性。
• 证明 CPEAT 中的原子代数是完全可表示的，且在 T 的附加条件下，该种类具有超合并性质。

提出的方法

• 构造使用可数丰富子半群 T，即在可数集上所有映射构成的半群下的子半群。
• CPEAT 定义为在 n 维柱状-多面体代数带等式框架下，基于 T 导出的可数语言中有限方程模式的种类。
• CPEAT 中的运算以集合论方式解释，类似于多面体等式集代数，但被限制在非必不相交的笛卡尔空间并集上，实现一种受保护语义形式。
• 通过利用半群 T 的性质及由此产生的表示定理，证明这些代数结构是典范的与原子典范的。
• 当 T 有限表示时，CPEAT 与一个有限公理化的 Sahlqvist 种类在术语定义上等价，从而实现有限公理化。
• 该方法通过使用有限多个变量的首阶逻辑片段的受保护语义与团簇受保护语义，对已有框架进行了推广，为模型论与代数逻辑框架之间建立了桥梁。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不需量词完全交换性的前提下，解决带有等式的首阶逻辑的有限公理化问题？
• RQ2 是否存在一个带有等式的柱状-多面体代数种类的有限公理化系统，能通过纯集表示捕捉首阶逻辑？
• RQ3 在何种条件下，种类 CPEAT 是典范的与原子典范的？
• RQ4 在何种条件下，种类 CPEAT 与一个有限公理化的 Sahlqvist 种类在术语定义上等价？
• RQ5 在何种条件下，CPEAT 中的原子代数是完全可表示的，且 CPEAT 具有超合并性质？

主要发现

• 对任意丰富子半群 T，代数 A 属于 CPEAT 当且仅当其在受保护语义下可表示为 n 元关系的纯集代数。
• 种类 CPEAT 是典范的与原子典范的，确保了完备性与插值结果所必需的强代数性质。
• 当 T 满足附加条件时，CPEAT 中的原子代数是完全可表示的，即每个原子都对应一个具体关系。
• 当 T 丰富且满足附加条件时，CPEAT 具有超合并性质，表明其具有强模型论行为。
• 若 T 丰富且有限表示，则 CPEAT 与一个有限公理化的 Sahlqvist 种类在术语定义上等价，从而解决了该语境下的有限公理化问题。
• 该框架为带有等式的首阶逻辑的有限公理化问题提供了正向解法，避免了对完整量词交换性的依赖。