[论文解读] On numerical solutions to stochastic Volterra equations

Anna Karczewska, P. Rozmej|ArXiv.org|Sep 2, 2004

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于Galerkin方法的数值方法，用于求解具有非马氏性、记忆依赖核的随机与确定性Volterra方程，结合再生核理论与随机卷积逼近。该方法在α=1和α=2情况下展示了较小误差的收敛性，并通过维纳过程离散化与埃尔米特多项式投影，给出了随机积分的显式公式。

ABSTRACT

The aim of the paper is to demonstrate the use of the Galerkin method for some kind of Volterra equations, determininistic and stochastic as well. The paper consists of two parts: the theoretical and numerical one. In the first part we recall some apparently well-known results concerning the Volterra equations under consideration. In the second one we describe a numerical algorithm used and next present some examples of numerical solutions in order to illustrate the pertinent features of the technique used in the paper.

研究动机与目标

• 开发一种用于求解具有非马氏性、记忆依赖核的随机Volterra方程的数值算法。
• 将Galerkin方法扩展至随机Volterra方程，利用再生核族与希尔伯特空间投影。
• 分析针对特定核函数（α=1，α=2）的数值格式的收敛性与精度。
• 通过维纳过程离散化，提供随机卷积积分的显式计算公式。
• 通过涉及高斯初始数据与加性噪声的数值示例说明该方法。

提出的方法

• 通过核函数a(t)与算子A定义的再生核族S(t)，表述随机Volterra方程的弱解。
• 在L²(ℝ)的有限维子空间中应用Galerkin方法，选取基函数{e_k}，将方程投影至{e_1, ..., e_n}张成的子空间。
• 将时间域离散化为I个区间，每个区间大小为τ = T/I，并通过独立的标准正态变量ζ_i近似随机积分。
• 对于α=1与α=2，推导出再生核φ_α(t,x)的闭式表达式，从而实现对随机卷积的解析求值。
• 利用再生核的卷积性质，将随机积分表示为高斯分布的加权和（α=1）或狄拉克函数组合（α=2）。
• 采用LU分解求解由Galerkin投影产生的大型线性系统（1208×1208）

实验结果

研究问题

• RQ1 Galerkin方法能否有效适配于求解具有记忆核的随机Volterra方程？
• RQ2 当再生核可解析求得时（例如α=1,2），数值解的精度如何？
• RQ3 在分数阶或多项式核的情况下，随机卷积积分的行为特征是什么？
• RQ4 对于不同类型的核函数，数值误差如何随时间和空间离散化而变化？
• RQ5 能否推导出随机积分的显式公式，并在数值格式中高效实现？

主要发现

• 对于α=1与α=2，确定性Volterra方程的数值解在时间区间[0,6]内表现出相对较小的误差。
• 随机卷积积分被显式计算为包含标准正态变量与解析推导核函数的和：α=1时为高斯核，α=2时为高斯核之和。
• 该方法在m=150个空间区间（h=0.2）与n=8个基函数下实现稳定数值解，形成1208×1208的线性系统。
• 随机轨迹由确定性解与随机积分之和构成，噪声强度C=0.1。
• 数值实现通过基于再生核的积分与Galerkin投影，成功处理了方程的非马氏性特征。
• 通过调用子程序gasdev与ran1，确保了随机分量中独立标准正态随机变量的可靠生成。