[论文解读] On numerically hypercyclic operators

Stanislav Shkarin|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文通过构造一个其平方不是数值超循环的算子，以及一个具有两个数值轨道、其并集在 ℂ 中稠密但其本身并非数值超循环的算子，解决了关于数值超循环算子的两个开放问题。本文刻画了 ℂ² 上的数值超循环算子，识别了此类算子的相似类与共轭类，并为拟自反 Banach 空间上数值超循环算子集合的算子范数闭包提供了谱条件。

ABSTRACT

According to Kim, Peris and Song, a continuous linear operator $T$ on a complex Banach space $X$ is called {\it numerically hypercyclic} if the numerical orbit $\{f(T^nx):n\in\N\}$ is dense in $\C$ for some $x\in X$ and $f\in X^*$ satisfying $\|x\|=\|f\|=f(x)=1$. They have characterized numerically hypercyclic weighted shifts and provided an example of a numerically hypercyclic operator on $\C^2$. We answer two questions of Kim, Peris and Song. Namely, we construct a numerically hypercyclic operator, whose square is not numerically hypercyclic as well as an operator which is not numerically hypercyclic but has two numerical orbits whose union is dense in $\C$. We characterize numerically hypercyclic operators on $\C^2$ as well as the operators similar to a numerically hypercyclic one and those operators whose conjugacy class consists entirely of numerically hypercyclic operators. We describe in spectral terms the operator norm closure of the set of numerically hypercyclic operators on a reflexive Banach space. Finally, we provide criteria for numeric hypercyclicity and decide upon the numerical hypercyclicity of operators from various classes.

研究动机与目标

• 为解决 Kim、Peris 和 Song 提出的关于数值超循环算子在平方运算和数值轨道并集下的行为的两个开放问题。
• 根据谱性质与动力系统性质，刻画 ℂ² 上的数值超循环算子。
• 识别与数值超循环算子相似或共轭的算子，并描述此类算子在拟自反 Banach 空间中集合的算子范数闭包。
• 提供数值超循环算子的谱条件，并确定其在各类算子类中的超循环性状态。

提出的方法

• 在 ℂ² 上构造一个特定算子，利用谱分解与特征值分析，使其具有数值超循环向量。
• 采用数值轨道 O(T,x,f) = {f(Tⁿx) : n ∈ ℕ} 的概念，并分析 (x,f) ∈ Π(X) 时其在 ℂ 中的稠密性。
• 应用谱理论，通过谱条件刻画拟自反 Banach 空间中数值超循环算子集合的闭包。
• 利用 L²[0,1] 上的 Volterra 算子 V 构造反例，通过分析 ⟨Tⁿf,f⟩ 的实部，证明其在 ℂ 中不稠密。
• 利用对角算子的 {∑cⱼₙλⱼₙᵏ : k ∈ ℕ} 在 ℂ 中的稠密性，建立强数值超循环性的判别准则。
• 应用泛函演算与算子相似性，分析弱与强数值超循环性，特别是针对 r > 1 和 r(I - cV) 型算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个 Banach 空间上的数值超循环算子，其平方不是数值超循环的？
• RQ2 一个算子是否可能非数值超循环，但其两个数值轨道的并集在 ℂ 中稠密？
• RQ3 ℂ² 上数值超循环算子的完整刻画是什么？
• RQ4 哪些算子与数值超循环算子相似或共轭？
• RQ5 在拟自反 Banach 空间上，数值超循环算子集合的算子范数闭包在谱学上如何描述？

主要发现

• 在 ℂ² 上存在一个数值超循环算子，其平方不是数值超循环的，从而正面回答了 Kim、Peris 和 Song 的问题。
• ℂ² 上的算子是数值超循环的，当且仅当其谱包含两个特征值 λ₁, λ₂，满足 |λ₁| = |λ₂| = 1，且 arg(λ₁), arg(λ₂) 在 ℚ 上线性无关。
• 拟自反 Banach 空间上数值超循环算子集合在算子范数拓扑下闭合，当且仅当其闭包满足谱条件。
• 对 L²[0,1] 上的 Volterra 算子扰动 T = re⁻ᵛ（r > 1）而言，其数值轨道位于右半平面，因此不可能在 ℂ 中稠密，故其不是数值超循环的。
• 当 r > 1 时，r(I - cV) 是弱数值超循环但非数值超循环的，表明弱与强数值超循环性之间存在严格层次关系。
• 本文通过确保 {∑cⱼₙλⱼₙᵏ : k ∈ ℕ} 在 ℂ 中稠密，利用谱数据与特征值分布，在 ℓ²(A × ℕ) 上构造了一个强数值超循环对角算子。