[论文解读] On OBDDs for CNFs of bounded treewidth

Igor Razgon|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2013

Formal Methods in Verification参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文证明，对于有界初等图树宽的CNF公式，有序二叉决策图（OBDD）无法实现类似SDD和DNNF等知识编译格式中所见的固定参数可追踪大小界 $ f(k)n^c $。研究证明，当CNF的树宽为 $ k $ 时，OBDD大小的下界为 $ \Omega(n^{k/4}) $，揭示了OBDD与SDD之间的参数化分离，表明即使在有界树宽下，OBDD的大小仍可能超多项式增长，而SDD的大小则保持多项式有界。

ABSTRACT

In this paper we show that a CNF cannot be compiled into an Ordered Binary Decision Diagram (OBDD) of fixed-parameter size parameterized by the primal graph treewidth of the CNF. Thus we provide a parameterized separation between OBDDs and Sentential Decision Diagrams (SDDs) for which such fixed-parameter compilation is possible. In fact, we demonstrate that the proposed lower bound also yields a classical (non-parameterized) separation of OBDDs and SDDs. We also show that the best existing parameterized upper bound for OBDDs in fact holds for incidence graph treewidth parameterization.

研究动机与目标

• 研究有界初等图树宽的CNF公式的OBDD是否具有类似SDD和DNNF的固定参数可追踪大小界。
• 解决OBDD大小是否可被 $ f(k)n^c $ 有界（其中 $ c $ 为常数，$ k $ 为树宽）的开放问题。
• 在参数化与经典复杂性设置下，建立OBDD与SDD之间的分离。
• 探讨是否可通过使用关联图树宽而非初等图树宽，来强化OBDD的 $ O(n^k) $ 上界。

提出的方法

• 引入图的匹配宽度概念，并证明其下界于任意变量前缀赋值下不同函数的数量，从而下界于OBDD大小。
• 构造一个无限的CNF公式族，其初等图树宽至多为 $ k $，并证明其匹配宽度为 $ \Omega(\log n \cdot k) $，从而导出 $ \Omega(n^{k/4}) $ 的OBDD大小下界。
• 证明若关联图的路径宽为 $ p $，则OBDD大小为 $ O(2^p n) $，利用路径分解和变量前缀上的函数计数。
• 利用树宽与路径宽之间的已知关系 $ p = O(k \log n) $，从关联图的路径宽推导出 $ O(n^k) $ 的上界。
• 分析组合宽度参数，表明其可远小于割宽或路径宽，并证明其可给出 $ O(2^w n) $ 的OBDD大小界。
• 构造一类CNF公式，其中 $ k = \log n $，导致OBDD大小为 $ n^{\Omega(\log n)} $，而SDD大小保持为 $ O(n^3) $，从而证明经典分离。

实验结果

研究问题

• RQ1 有界初等图树宽的CNF公式的OBDD能否实现形式为 $ f(k)n^c $ 的固定参数可追踪大小界？
• RQ2 在知识编译复杂性方面，OBDD与SDD之间是否存在参数化分离？
• RQ3 当 $ k $ 为关联图树宽而非初等图树宽时，OBDD的 $ O(n^k) $ 上界是否仍然成立？
• RQ4 即使初等图树宽有界，OBDD大小是否仍可能为超多项式？
• RQ5 在OBDD大小方面，关联图树宽与组合宽度参数之间有何关系？

主要发现

• 本文为初等图树宽至多为 $ k $ 的CNF公式的OBDD大小建立了 $ \Omega(n^{k/4}) $ 的下界，对每个固定的 $ k $ 成立，表明不存在形式为 $ f(k)n^c $ 的固定参数可追踪界。
• 该下界意味着OBDD无法在指数部分实现对 $ k $ 的次线性依赖，从而排除了对大常数 $ C $ 的 $ n^{k/C} $ 界。
• 构造了一个无限CNF公式族，其OBDD大小为 $ n^{\Omega(\log n)} $，而SDD大小保持为 $ O(n^3) $，从而证明了OBDD与SDD之间的经典分离。
• 通过证明当 $ k $ 为关联图树宽时，OBDD的 $ O(n^k) $ 上界依然成立，强化了该上界。
• 本文证明，若关联图的路径宽为 $ p $，则OBDD大小为 $ O(2^p n) $，且由于 $ p = O(k \log n) $，该结果可恢复出 $ O(n^k) $ 的界。
• 组合宽度参数被证明是OBDD大小的有效参数，可给出 $ O(2^w n) $ 的大小界，且其值可远小于割宽或路径宽，暗示其在编译优化方面具有改进潜力。