[论文解读] On one class of functions with complicated local structure

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2015

advanced mathematical theories参考文献 1被引用 18

一句话总结

本文引入了一类函数 $λ_s$，通过在 s-adic 或 nega-s-adic 数字块上进行双射变换定义，表现出复杂的局部结构。这些函数通过固定长度 $k$ 的数字组上的分块置换 $ heta$ 构造，关键结果是几乎所有此类函数都是连续的、处处不可微的，其图像的 Hausdorff–Besicovitch 维数为 1，且在定义域上的 Lebesgue 积分为 $rac{1}{2}$。

ABSTRACT

We introduce a class $Λ_{s}$ of functions with complicated local structure. Any function from the class belongs to one of three specifically defined types $f^s _k$, $f_+$, and $f^{-1} _+$ or is a specifically defined composition of two or three functions of these types. Differential, integral, fractal and other properties of such functions are investigated. In particular, all functions $f$ from $Λ_{s}$ such that $f(x) e x$, $f(x) e -\frac{s-1}{s+1}-x$ and $f(x) e 1-x$ are nonmonotonic and nowhere differentiable. The Hausdorff--Besicovitch dimension of a plot of each $f \in Λ_s$ is equal to $1,$ and the Lebesgue integral of $f$ is equal to $\frac 1 2$. The proof of these statements for the compositions and the corresponding proofs for $f^s _k$, $f_+$, and $f^{-1} _+$ are similar.

研究动机与目标

• 定义并分析一类新的实函数类 $\Lambda_s$，其复杂的局部行为源于 s-adic 或 nega-s-adic 数字系统中的逐位变换。
• 建立 $\Lambda_s$ 中的函数通常为连续、处处不可微，并具有自相似分形图像。
• 计算 $\Lambda_s$ 中每个函数图像的 Hausdorff–Besicovitch 维数，证明其恒为 1。
• 证明 $\Lambda_s$ 中任意函数在其定义域上的 Lebesgue 积分值恰好为 $\frac{1}{2}$，且与特定变换 $\theta$ 无关。
• 在基于数字块变换的统一框架下，整合分析多种函数类型（$f^s_k$、$f_+$、$f^{-1}_+$ 及其复合）的性质。

提出的方法

• 通过在输入 $x$ 的 s-adic 或 nega-s-adic 展开中对长度为 $k$ 的数字块应用固定双射函数 $\theta$，定义 $\Lambda_s$ 中的函数。
• 构造三种基本函数类型：$f^s_k$（分块置换）、$f_+$（在 s-adic 与 nega-s-adic 表示之间切换）以及 $f^{-1}_+$（$f_+$ 的逆）。
• 通过这些基本类型的复合生成 $\Lambda_s$ 中的所有函数，包括 $f_+ \circ f^s_k$、$f^s_k \circ f^{-1}_+$ 和 $f_+ \circ f^s_k \circ f^{-1}_+$。
• 利用图像的自相似性和递归结构，通过在第 $m$ 阶层对覆盖集进行极限分析，计算 Hausdorff–Besicovitch 维数。
• 利用自相似性质推导 Lebesgue 积分的函数方程，求解后证明 $\int f(x)\,dx = \frac{1}{2}$。
• 利用图像在第 $mk$ 阶层位于 $s^{mk}$ 个边长为 $s^{-mk}$ 的方格内的事实，通过公式 $\widehat{H}_\alpha(\Gamma) = \varliminf_{m\to\infty} s^{mk} (\sqrt{2} s^{-mk})^\alpha$ 计算维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过数字块置换构造的 $\Lambda_s$ 中函数的图像的分形维数是多少？
• RQ2 在何种条件下 $\Lambda_s$ 中的函数是处处不可微的？
• RQ3 $\Lambda_s$ 中任意函数在其定义域上的 Lebesgue 积分值是多少？
• RQ4 图像的自相似性质如何使 Hausdorff–Besicovitch 维数得以计算？
• RQ5 对基本函数类型 $f^s_k$、$f_+$ 和 $f^{-1}_+$ 的复合在多大程度上保持了如不可微性和积分值等关键性质？

主要发现

• 所有满足 $f(x) \neq x$、$f(x) \neq -\frac{s-1}{s+1} - x$ 且 $f(x) \neq 1 - x$ 的函数 $f \in \Lambda_s$ 均为处处不可微。
• $\Lambda_s$ 中每个函数 $f$ 的图像的 Hausdorff–Besicovitch 维数恰好为 1。
• $\Lambda_s$ 中任意函数 $f$ 在其定义域 $D(f)$ 上的 Lebesgue 积分值精确为 $\frac{1}{2}$。
• $f^s_k$、$f_+$、$f^{-1}_+$ 及其复合函数图像的自相似结构，使得可通过递归覆盖和函数方程计算维数与积分。
• 维数结果成立的原因是 $\varliminf_{m\to\infty} s^{mk} (\sqrt{2} s^{-mk})^\alpha \to 0$ 对 $\alpha > 1$ 成立，表明临界维数为 1。
• $\Lambda_s$ 中所有函数（包括复合函数）的 Lebesgue 积分保持不变，这是由于构造中自相似缩放与对称性所致。