[论文解读] On one class of nowhere non-monotonic functions with fractal properties that contains a subclass of singular functions

S. O. Klymchuk, M. V. Pratsiovytyi|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2026

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一句话总结

论文通过 Q3* 表示定义一个连续函数，建立严格单调性、非单调性、无处单调性、不可微性和奇异性的判据，并分析水平集与图形结构。

ABSTRACT

We study one class of continuous functions $f$ defined on segment $[0,1]$ by equality $$ f(x)=δ_{α_1(x)1}+\sum^{\infty}_{k=2}\left[δ_{α_k(x)k}\prod^{k-1}_{j=1}g_{α_j (x)j} ight]\equivΔ^{G^*_3}_{α_1α_2\ldotsα_k\ldots}, $$ where $||q^*_{ik}||$ is given infinite stochastic positive matrix ($i=0,1,2$; $k \in N$); $β_{0k}=0$, $β_{1k}=q_{0k}$, $β_{2k}=q_{0k}+q_{1k}$; $(\varepsilon_k)$ is given sequence of numbers such that $0\leqslant \varepsilon_k \leqslant 1 $; $g_{0k}=\dfrac{1+\varepsilon_k}{3}=g_{2k}$, $g_ {1k}=\dfrac{1-2\varepsilon_k}{3}$, $δ_{0k}=0$, $δ_{1k}=g_{0k}$, $δ_{2k}=g_{0k}+g_{1k}$, $k\in N$. We found criteria of strict monotonicity, non monotonicity and nowhere monotonicity, non-differentiability and singularity of the functions. We pay attention to properties of level sets of the functions.

研究动机与目标

• 在 [0,1] 上定义的通过 Q3* 表示的无处单调和分形型连续函数的研究动机。
• 给出 f 的构造并证明其在所有 Q3* 表示下的收敛性与良定义性。
• 推导 f 的严格单调性、非单调性、无处单调性、可微性与奇异性的判据。
• 研究水平集、柱面上的极值，以及 f 的图形的几何性质。
• 考察 Cantor 型结构及其对 f 的图形和水平集的含义。

提出的方法

• 通过一个无穷级数定义 f(x)，系数 delta 与来自随机 Q3* 矩阵 Q^{*}_{3} 与 ε 序列导出的 g。
• 证明该级数的绝对收敛性，以及同一点的多种 Q3* 表示下的独立性。
• 通过分析 Q3* 无理点和有理点处的收敛性，证明 f 在 [0,1] 上的连续性。
• 在三进制柱面上计算增量：μ_f(Δ^{Q^{*}_{3}}_{c1…cm}) = ∏^{m}_{j=1} g_{c_j j}。
• 从 ε_k 的取值推导单调性判据：若 0 ≤ ε_k < 1/2，f 严格递增；若 1/2 < ε_k ≤ 1，f 无处单调；并在 ε_k = 1/2 时考察在柱面上的常数情形。
• 通过考察 Cantor 型柱面划分及在这些集合上的导数行为，分析水平集与奇异性。
• 研究在常数 ε 与非零 g 的情况下图形的仿射自相似性，在水平子集上建立图形的仿射等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ε 序列與 Q3* 矩阵的何种条件下，f 会变为严格递增、无处单调或非单调？
• RQ2 在不同的 ε_k 区间下，f 的水平集如何表现（点、线段、可数集）？
• RQ3 f 是否表现出可微性或奇异性，这如何体现在 Cantor 型水平集结构与图形上？
• RQ4 f 的图形与柱面子集的仿射像之间存在何种几何关系？
• RQ5 对底层 Q3* 表示的扰动，单调性与奇异性性质的鲁棒性如何？

主要发现

• 柱面的增量为 μ_f(Δ^{Q^{*}_{3}}_{c1…cm}) = ∏^{m}_{j=1} g_{c_j j}。
• 若所有 ε_k 严格小于 1/2，f 在 [0,1] 上严格递增。
• 若所有 ε_k 满足 1/2 < ε_k ≤ 1，f 在 [0,1] 上无处单调。
• 若所有 k 的 ε_k 都为 1/2，f 在某些相邻柱面上恒定，导致水平集区间。
• 该函数在 [0,1] 连续，且值域为 [0,1]。
• 当 ε 保持常数且 g_i ≠ 0 时，图形可以在水平子集上进行仿射变换，显示图形某些部分的仿射等价性。