[论文解读] On Operator Valued Measures

Darian McLaren, Sarah Plosker+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 25被引用 10

一句话总结

本文将经典测度论结果——勒贝格分解与约翰逊分解——推广至无穷维希尔伯特空间上的正算子值测度（POVM），并放宽了通常的正性假设。文中引入了相对于量子态的POVM的拉东-尼科迪姆导数，并建立了绝对连续性、洁净性与原子/非原子分解之间的联系，证明了洁净等价性保持非原子性。

ABSTRACT

We consider positive operator valued measures whose image is the bounded operators acting on an infinite-dimensional Hilbert space, and we relax, when possible, the usual assumption of positivity of the operator valued measure seen in the quantum information theory literature. We define the Radon-Nikodym derivative of a positive operator valued measure with respect to a complex measure induced by a given quantum state; this derivative does not always exist when the Hilbert space is infinite dimensional in so much as its range may include unbounded operators. We define integrability of a positive quantum random variable with respect to a positive operator valued measure. Emphasis is put on the structure of operator valued measures, and we develop positive operator valued versions of the Lebesque decomposition theorem and Johnson's atomic and nonatomic decomposition theorem. Beyond these generalizations, we make connections between absolute continuity and the "cleanness" relation defined on positive operator valued measures as well as to the notion of atomic and nonatomic measures.

研究动机与目标

• 将经典的分解定理——勒贝格与约翰逊分解——推广至无穷维希尔伯特空间中的算子值测度。
• 在量子信息理论中放宽POVM的标准正性假设，以支持更广泛的数学分析。
• 定义并研究相对于量子态的POVM的拉东-尼科迪姆导数，即使在可能出现无界算子的情况下亦成立。
• 厘清绝对连续性、'洁净'关系与量子概率测度的原子/非原子结构之间的关系。

提出的方法

• 将算子值测度（OVM）定义为从博雷尔集到无穷维希尔伯特空间上有界算子的弱可数可加映射。
• 引入相对于由量子态诱导的复测度的POVM的拉东-尼科迪姆导数，指出在无穷维空间中其可能产生无界算子。
• 建立勒贝格分解定理的正算子值版本，将POVM相对于参考测度分解为绝对连续部分与奇异部分。
• 建立约翰逊分解的算子值类比，将POVM分解为原子与非原子分量。
• 利用量子信息理论中的洁净序关系分析POVM的结构特性，尤其关注其与绝对连续性的关系。
• 证明洁净等价性保持非原子性：若一对洁净测度中一个为非原子，则另一个亦为非原子。

实验结果

研究问题

• RQ1 勒贝格分解定理能否推广至无穷维希尔伯特空间中的正算子值测度？
• RQ2 相对于量子态的POVM的拉东-尼科迪姆导数在何种条件下存在？其何时可能为无界？
• RQ3 在量子概率测度的语境下，绝对连续性与'洁净'概念之间存在何种关系？
• RQ4 能否将测度的约翰逊分解（即分解为原子与非原子部分）推广至算子值测度？
• RQ5 量子概率测度的原子性或非原子性在洁净等价关系下是否保持不变？

主要发现

• 勒贝格分解定理被推广至POVM，使得POVM可相对于参考测度分解为绝对连续部分与奇异部分。
• 相对于量子态的POVM的拉东-尼科迪姆导数可能存在，但在希尔伯特空间为无穷维时可能产生无界算子。
• 建立了约翰逊分解的正算子值版本，将POVM分解为原子与非原子分量。
• 量子概率测度之间的洁净等价性保持非原子性：若一对洁净测度中一个为非原子，则另一个亦为非原子。
• 可通过线性无关的正算子之和（和为单位算子）加权的相互奇异测度之和，构造信息完备的量子概率测度。
• 原子性或非原子性并不能唯一确定测量空间，因为同一算子系统可同时支持原子与非原子测度。