[论文解读] On Optimal 2- and 3-Planar Graphs

Michael A. Bekos, Michael Kaufmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文全面表征了最优2-和3-平面图——即分别达到最大边数5n−10和5.5n−11的图——通过证明其具有高度规则的结构：在真实平面骨架中，每个面均为5-圈（2-平面图）或6-圈（3-平面图），分别恰好有5条或8条额外的交叉边。该表征表明，最优2-平面图是泛平面图，并可实现杆1-可见性表示，而最优3-平面图不是泛平面图，但属于拟平面图。

ABSTRACT

A graph is $k$-planar if it can be drawn in the plane such that no edge is crossed more than $k$ times. While for $k=1$, optimal $1$-planar graphs, i.e., those with $n$ vertices and exactly $4n-8$ edges, have been completely characterized, this has not been the case for $k \geq 2$. For $k=2,3$ and $4$, upper bounds on the edge density have been developed for the case of simple graphs by Pach and Tóth, Pach et al. and Ackerman, which have been used to improve the well-known "Crossing Lemma". Recently, we proved that these bounds also apply to non-simple $2$- and $3$-planar graphs without homotopic parallel edges and self-loops. In this paper, we completely characterize optimal $2$- and $3$-planar graphs, i.e., those that achieve the aforementioned upper bounds. We prove that they have a remarkably simple regular structure, although they might be non-simple. The new characterization allows us to develop notable insights concerning new inclusion relationships with other graph classes.

研究动机与目标

• 完全表征最优2-和3-平面图，这些图实现了边密度的理论上限。
• 确定尽管可能存在非简单性，这些最优图是否具有统一、规则的结构模式。
• 探索最优2-和3-平面图与其他图类（如泛平面图和杆可见图）之间的包含关系。
• 研究在最优2-和3-平面图中观察到的结构规则性是否可推广至更高k-平面图。

提出的方法

• 分析最优k-平面图的真实平面骨架Π(G)，其中所有面均为固定大小的简单圈（2-平面图为5圈，3-平面图为6圈）。
• 证明骨架中每个面恰好被5条（2-平面图）或8条（3-平面图）边交叉，形成规则构型。
• 使用s-t排序和杆可见性表示技术，证明简单最优2-平面图可实现杆1-可见性表示。
• 应用拓扑图论和交叉图分析，建立边交叉和连通分量的结构约束。
• 利用k-平面图边密度的已有界（如2-平面图的5n−10）并将其扩展至无同伦边的非简单图。
• 将最优k-平面图与泛平面图和拟平面图类进行比较，以确定包含关系和结构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 最优2-平面图具有何种结构特性，能否被完全表征？
• RQ2 最优3-平面图是否表现出与最优2-平面图类似的规则结构？
• RQ3 所有简单最优2-平面图是否都是泛平面图，且能否表示为杆1-可见性图？
• RQ4 最优2-和3-平面图的结构规则性是否可推广至k≥4时的最优k-平面图？
• RQ5 最优2-和3-平面图是否满足拟平面性质，且该性质是否可推广至k≥3的情况？

主要发现

• 最优2-平面图的真实平面骨架中，每个面均为5-圈，且每个此类面的内部恰好包含5条交叉边。
• 最优3-平面图的真实平面骨架中，每个面均为6-圈，且每个此类面的内部恰好包含8条交叉边。
• 简单最优2-平面图是泛平面图，因为其PMCM-绘图满足仅在公共端点处发生边交叉的泛平面条件。
• 简单最优2-平面图可实现杆1-可见性表示，其中每条可见边最多与一个顶点杆相交。
• 最优3-平面图不是泛平面图，因为其包含三组两两交叉但无公共端点的边。
• 最优2-和3-平面图是拟平面图，表明k-拟平面性质可能可推广至k=2。