[论文解读] On Order Types of Random Point Sets

Olivier Devillers, Philippe Duchon+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文研究了在正方形内均匀采样点生成随机顺序类型时的统计偏差，表明此类方法因强烈的集中效应而效率低下。本文证明，任何用于确定顺序类型的算法至少需要 $4n\log_2 n - O(n\log\log n)$ 位，这意味着‘高效编码’论据无法解决随机点集集中性的猜想。

ABSTRACT

A simple method to produce a random order type is to take the order type of a random point set. We conjecture that many probability distributions on order types defined in this way are heavily concentrated and therefore sample inefficiently the space of order types. We present two results on this question. First, we study experimentally the bias in the order types of $n$ random points chosen uniformly and independently in a square, for $n$ up to $16$. Second, we study algorithms for determining the order type of a point set in terms of the number of coordinate bits they require to know. We give an algorithm that requires on average $4n \log\_2 n+O(n)$ bits to determine the order type of $P$, and show that any algorithm requires at least $4n \log\_2 n - O(n \log\log n)$ bits. This implies that the concentration conjecture cannot be proven by an "efficient encoding" argument.

研究动机与目标

• 研究在正方形内均匀采样随机点集是否会导致顺序类型高度集中，从而造成对所有顺序类型空间的采样效率低下。
• 分析表示顺序类型的信道理论复杂度，重点关注确定其所需的位数。
• 通过建立位需求的紧致边界，挑战通过‘高效编码’论据证明集中性的可行性。
• 将分析从均匀正方形扩展到点集的更一般概率分布。

提出的方法

• 通过计算实验，对 $n \leq 16$ 的情形，实证评估在正方形内均匀随机采样的 $n$ 个点生成的顺序类型的偏差。
• 提出一种算法，平均使用 $4n\log_2 n + O(n)$ 位来确定点集的顺序类型。
• 建立任何算法确定顺序类型至少需要 $4n\log_2 n - O(n\log\log n)$ 位的下界。
• 通过角扇区区域占用的概率分析，界定碰撞概率并推导集中度边界。
• 应用渐近近似（如斯特林公式）分析组合表达式中对数项的概率界。
• 通过分离几何与概率分量，将结果推广至一般分布，证明在缩放和有界密度假设下具有鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正方形内均匀随机采样的 $n$ 个点的顺序类型是否表现出显著集中性，导致其作为所有顺序类型空间的采样器效率低下？
• RQ2 确定大小为 $n$ 的点集的顺序类型，至少需要多少位？
• RQ3 能否基于位复杂度的‘高效编码’论据证明随机顺序类型的集中性猜想？
• RQ4 结果在多大程度上可推广至正方形上均匀分布以外的其他具有有界密度的分布？

主要发现

• 在正方形内均匀随机采样的 $n$ 个点的顺序类型表现出强烈的偏差，表明其对所有顺序类型空间的采样效率低下。
• 存在一种算法，可平均使用 $4n\log_2 n + O(n)$ 位来确定点集的顺序类型。
• 任何算法确定顺序类型至少需要 $4n\log_2 n - O(n\log\log n)$ 位，从而建立了紧致的信息论下界。
• 由于位复杂度已接近理论最小值，无法通过高效编码论据证明集中性猜想。
• 分析可推广至有界凸域上具有正密度的通用分布，表明在温和条件下，类似的位复杂度边界依然成立。