[论文解读] On $p$-adic absolute Hodge cohomology and syntomic coefficients, I

Frédéric Déglise, Nizio{\l}, Wies{\l}awa|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 2

一句话总结

该论文通过在潜在半稳定伽罗瓦表示的导出范畴中构造导出 Hom，将 syntomic 上同调确立为 p-进绝对 Hodge 上同调。通过动机同伦理论引入 syntomic 系数，证明了对于恰当光滑代数簇，syntomic 下降谱序列在 E2 项退化，并提供了混合动机的 p-进实现及比较同构，推广了此前在良好和半稳定减少情形下的结果。

ABSTRACT

We interpret syntomic cohomology of Nekov\'a\v{r}-Nizio{\l} as a $p$-adic absolute Hodge cohomology. This is analogous to the interpretation of Deligne-Beilinson cohomology as an absolute Hodge cohomology by Beilinson and generalizes the results of Bannai and Chiarellotto, Ciccioni, Mazzari in the good reduction case, and of Yamada in the semistable reduction case. This interpretation yields a simple construction of the syntomic descent spectral sequence and its degeneration for proper and smooth varieties. We introduce syntomic coefficients and show that in dimension zero they form a full triangulated subcategory of the derived category of potentially semistable Galois representations. Along the way, we obtain $p$-adic realizations of mixed motives including $p$-adic comparison isomorphisms. We apply this to the motivic fundamental group generalizing results of Olsson and Vologodsky.

研究动机与目标

• 将 syntomic 上同调解释为 Beilinson 的绝对 Hodge 上同调的 p-进类比，将 Deligne-Beilinson 上同调推广至 p-进情形。
• 构造 p-进 Hodge 结构（可接受的带过滤的 (ϕ,N,GK)-模）的导出范畴，并在该范畴中定义 syntomic 上同调为导出 Hom。
• 通过 motivic dg-代数 Esyn 定义 syntomic 系数，推广局部系统，使 syntomic 上同调具备系数系统。
• 利用 Deligne 的经典论证，证明对于恰当光滑簇，syntomic 下降谱序列在 E2 项退化。
• 提供 Nori 和 Voevodsky 混合动机的 p-进实现，包括与 étale 和 de Rham 上同调的比较同构。

提出的方法

• 通过粘合特殊纤维（含 Frobenius 和单值算子）的范畴与一般纤维（含 Hodge 滤子）的范畴，构造可接受的 p-进 Hodge 复形的 dg-范畴。
• 将复形 RΓDFK(XK, r) 定义为 t-结构等价 θ⁻¹ 从带过滤的 (ϕ,N,GK)-模的导出范畴到可接受的 p-进 Hodge 复形的导出范畴的逆像。
• 利用 Beilinson 的基本引理，通过分层和 ˇCech 粘合，为仿射簇定义潜在半稳定复形，从而得到 p-进类比的胞腔上同调。
• 通过 motivic dg-代数 Esyn 表示 syntomic 上同调，使得 RΓsyn(X, r) = R HomDMh(K,Qp)(M(X), Esyn(r))，其中 M(X) 为 Voevodsky 的动机。
• 将 syntomic 系数定义为 Esyn-模，其上同调为 RΓH(X, M) = R HomEsyn−modX(Esyn,X, M)，并与动机相容。
• 将 p-进比较定理（如 Beilinson-Hyodo-Kato）提升至动机层面，确保与 Gysin 同态和乘积的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 syntomic 上同调能否被解释为 p-进绝对 Hodge 上同调，类似于 Beilinson 对 Deligne-Beilinson 上同调的构造？
• RQ2 如何系统地定义 syntomic 系数，使其推广 p-进 Hodge 模并支持 6-函子形式化？
• RQ3 对于恰当光滑簇，syntomic 下降谱序列是否在 E2 项退化？若是，原因为何？
• RQ4 混合动机（Nori 与 Voevodsky）的 p-进实现如何与伽罗瓦表示关联，并满足比较同构？
• RQ5 几何、Nori-几何与构造性 p-进伽罗瓦表示范畴的结构性质是什么？

主要发现

• 对于 r ≥ 0，syntomic 上同调 RΓsyn(X, r) 同构于 RΓH(X, r) := R HomDb(DFK)(K(0), RΓDFK(XK, r))，确立其为 p-进绝对 Hodge 上同调。
• syntomic 下降谱序列 H^i_st(GK, H^j_ét(XK, Qp(r))) ⇒ H^{i+j}_H(X, r) 在恰当光滑 X 上于 E2 项退化，依据 Hard Lefschetz 定理。
• syntomic 模（Esyn-模）的范畴构成潜在半稳定伽罗瓦表示导出范畴的全满三角子范畴。
• p-进实现函子 RΓpst : Db(DFK) → Db(Reppst(GK)) 是全忠实的，且与动机 6-函子形式化相容。
• 几何与构造性 p-进伽罗瓦表示在张量积与扭变换下稳定，且包含所有 H^i_ét(XK, Qp(r))（X 为光滑射影簇）。
• 构造性表示范畴 Repc(GK) 包含所有几何表示的潜在半稳定扩张，且对扩张与重言式闭包。