[论文解读] On $p$-adic $L$-functions for Hilbert modular forms

John Bergdall, David J. Hansen|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 6

一句话总结

该论文为任意完全实数域上的 $p$-精化上同调希尔伯特模形式构造了典范的 $p$-进 $L$-函数，无需假设小斜率或非临界性。该构造利用从过收敛上同调到伽罗瓦群 $\Gamma_F$ 上局部解析分布的阿代尔映射，并建立了在临界精化点处特征簇的光滑性，从而实现在 $p$-进族中对特殊值的插值。

ABSTRACT

We construct $p$-adic $L$-functions associated with $p$-refined cohomological cuspidal Hilbert modular forms over any totally real field under a mild hypothesis. Our construction is canonical, varies naturally in $p$-adic families, and does not require any small slope or non-criticality assumptions on the $p$-refinement. The main new ingredients are an adelic definition of a canonical map from overconvergent cohomology to a space of locally analytic distributions on the relevant Galois group and a smoothness theorem for certain eigenvarieties at critically refined points.

研究动机与目标

• 为任意完全实数域上的 $p$-精化上同调希尔伯特模形式定义典范的 $p$-进 $L$-函数。
• 在 $p$-精化中去除小斜率或非临界性等限制性假设。
• 确保 $p$-进 $L$-函数在 $p$-进族中自然变化。
• 在临界精化点处建立特征簇的光滑性，以使构造行为良好。
• 提供一个典范的、阿代尔式的周期映射构造，将上同调与局部解析分布联系起来。

提出的方法

• 从过收敛上同调到伽罗瓦群 $\Gamma_F$ 上局部解析分布的阿代尔式典范映射的定义。
• 利用特征簇在 $p$-分明、良好经典点处的光滑性定理，以确保插值成立。
• 通过周期映射对代数特殊值进行插值，构造 $p$-进 $L$-函数。
• 利用局部解析分布与 $p$-进扭变，处理 $L$-值在 $p$-进插值中的行为。
• 应用 $(\varphi,\Gamma)$-模与三角化表示的形变理论，以控制局部伽罗瓦表示。
• 利用霍克斯希尔德-塞尔谱序列与庞加莱对偶性，证明当伽罗瓦表示的像为 $\mathrm{SL}_2(\mathbf{F}_p)$ 时，上同调在度数 $d$ 处集中。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设小斜率或非临界性的前提下，为 $p$-精化希尔伯特模形式构造 $p$-进 $L$-函数？
• RQ2 是否存在一个典范的、阿代尔式的周期映射构造，从上同调到局部解析分布？
• RQ3 在良好性假设下，特征簇在临界精化点处是否仍保持光滑？
• RQ4 能否在 $p$-进族中对 $L$-函数的特殊值实现 $p$-进插值？
• RQ5 在模 $p$ 伽罗瓦表示中，若像为 $\mathrm{SL}_2(\mathbf{F}_p)$，特征簇在这些点处的上同调行为如何？

主要发现

• 该 $p$-进 $L$-函数被典范地构造，并在 $p$-进族中自然变化，无需斜率或临界性假设。
• 在良好性假设下，特征簇在 $p$-分明、良好经典点处光滑，从而确保了 $p$-进 $L$-函数的存在性。
• 当模 $p$ 伽罗瓦表示包含 $\mathrm{SL}_2(\mathbf{F}_p)$ 时，特征簇的上同调集中在中间度数 $d$。
• 从过收敛上同调到局部解析分布的周期映射以阿代尔方式定义，并尊重特殊值的 $p$-进插值。
• 通过特征簇 $\mathscr{X}(\Gamma_F)$，该构造在 $p$-进族中插值了代数特殊值 $\iota(\Lambda^{\mathrm{alg}}(\pi \otimes \theta, m+1))$。
• 形变空间 $\mathfrak{t}_D^{\mathrm{Ref}}/H^1_f(\mathrm{ad}(D))$ 的维数被限制在 $2[K:\mathbf{Q}_p]$ 以内，与伽罗瓦形变的预期模空间一致。