[论文解读] On p-adic loop groups and Grassmannians

Martin Kreidl|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过利用Witt环W(R)上的格点，描述了SL_n的p进仿射格拉斯曼ian的R-有理点，建立了一个几何框架，并构造了多重加权Hilbert概形的射影k-子概形，这些子概形在等变意义下映射到格拉斯曼ian，从而在p进设定下实现了Schubert概形。对于约化的k-代数R，这些映射在Hilbert概形的开轨道的R-点与格拉斯曼ian中的Schubert胞腔之间诱导出双射对应关系。

ABSTRACT

It is well-known that the coset spaces G(k((z)))/G(k[[z]]), for a reductive group G over a field k, carry the geometric structure of an inductive limit of projective k-schemes. This k-ind-scheme is known as the affine Grassmannian for G. From the point of view of number theory it would be interesting to obtain an analogous geometric interpretation of quotients of the form G(W(k)[1/p])/G(W(k)), where p is a rational prime, W denotes the ring scheme of p-typical Witt vectors, k is a perfect field of characteristic p and G is a reductive group scheme over W(k). The present paper is an attempt to describe which constructions carry over from the function field case to the p-adic case, more precisely to the situation of the p-adic affine Grassmannian for the special linear group G=SL_n. We start with a description of the R-valued points of the p-adic affine Grassmannian for SL_n in terms of lattices over W(R), where R is a perfect k-algebra. In order to obtain a link with geometry we further construct projective k-subvarieties of the multigraded Hilbert scheme which map equivariantly to the p-adic affine Grassmannian. The images of these morphisms play the role of Schubert varieties in the p-adic setting. Further, for any reduced k-algebra R these morphisms induce bijective maps between the sets of R-valued points of the respective open orbits in the multigraded Hilbert scheme and the corresponding Schubert cells of the p-adic affine Grassmannian for SL_n.

研究动机与目标

• 将仿射格拉斯曼ian的几何理论从函数域推广到p进设定，特别是针对SL_n。
• 为商群G(W(k)[1/p])/G(W(k))的商提供类似于经典函数域情形的几何解释。
• 构造多重加权Hilbert概形的射影k-子概形，以在p进格拉斯曼ian中建模Schubert概形。
• 为约化的k-代数R，建立Hilbert概形中开轨道的R-点与p进格拉斯曼ian中Schubert胞腔之间的双射对应关系。

提出的方法

• 通过R-有理点描述SL_n的p进仿射格拉斯曼ian，其中R为完美k-代数，基于W(R)上的格点。
• 构造多重加权Hilbert概形的射影k-子概形，使其在等变意义下映射到p进格拉斯曼ian。
• 利用多重加权Hilbert概形，通过几何嵌入在p进设定下实现Schubert概形。
• 建立从这些子概形到p进格拉斯曼ian的等变态射，保持轨道结构。
• 分析约化k-代数R上诱导的R-有理点映射，证明在开轨道上为双射。
• 应用Witt环W(R)的理论以处理p进结构，并保持与半单代数群概形SL_n的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在类比函数域情形的基础上，几何化实现SL_n的p进仿射格拉斯曼ian？
• RQ2 多重加权Hilbert概形的子概形在p进设定下建模Schubert概形中起什么作用？
• RQ3 能否为约化的k-代数R，在Hilbert概形的开轨道的R-点与p进格拉斯曼ian中的Schubert胞腔之间建立双射对应？
• RQ4 函数域情形下的构造在多大程度上可通过Witt向量构造推广到p进设定？

主要发现

• SL_n的p进仿射格拉斯曼ian的R-有理点由W(R)上的格点参数化，为该空间提供了具体的模型。
• 多重加权Hilbert概形的射影k-子概形在等变意义下映射到p进格拉斯曼ian，从而在p进背景下实现了Schubert概形。
• 这些态射的像对应于p进格拉斯曼ian中的Schubert概形，扩展了经典理论。
• 对任意约化的k-代数R，这些态射在Hilbert概形中开轨道的R-有理点与格拉斯曼ian中相应Schubert胞腔之间诱导出双射映射。
• 该构造保持了等变性，并在Hilbert概形与p进格拉斯曼ian之间建立了几何桥梁。
• 该框架成功地通过Witt向量与多重加权Hilbert概形，将函数域格拉斯曼ian的关键特征适配到p进设定中。