[论文解读] On (p,q)-analogue of Bernstein Operators (Revised)

M. ‎Mursaleen, Khursheed J‎. ‎Ansari+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2015

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文修正了 (p,q)-Bernstein 算子的 (p,q)-类比，以确保其具备正确的矩性质，特别是 $ B_{n,p,q}(1;x) = 1 $，该性质在原始公式中被违反。修正后的算子满足 Korovkin 逼近定理，在 $ p_n, q_n \to 1 $ 时，对 [0,1] 上的连续函数一致收敛，收敛速率被界定为 $ \frac{2p_n^{n-1}}{[n]_{p_n,q_n}} $。

ABSTRACT

In the present article, we have given a corrigendum to our paper ``On (p,q)-analogue of Bernstein operators" published in Applied Mathematics and Computation 266 (2015) 874-882.

研究动机与目标

• 修正原始 2015 年论文中存在缺陷的 (p,q)-Bernstein 算子，其未能满足 $ B_{n,p,q}(1;x) = 1 $。
• 通过引入归一化因子 $ p^{-n(n-1)/2} $ 和修正后的单项式缩放方式，重新引入修正后的算子形式，以恢复正性和矩条件。
• 在 $ \lim_{n\to\infty} p_n = \lim_{n\to\infty} q_n = 1 $ 的条件下，建立修正后算子对 [0,1] 上连续函数的一致收敛性。
• 利用矩估计，证明新算子族的 Korovkin 型逼近定理。
• 通过数值实验展示在不同 $ p, q, n $ 条件下的收敛行为，验证理论结果。

提出的方法

• 修正后的算子定义为 $ B_{n,p,q}(f;x) = \frac{1}{p^{n(n-1)/2}} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}_{p,q} p^{k(k-1)/2} x^k \prod_{s=0}^{n-k-1} (p^s - q^s x) \cdot f\left( \frac{[k]_{p,q}}{p^{k-n}[n]_{p,q}} \right) $，以确保正确的归一化。
• 使用 $ p $-整数和 $ q $-整数以及 $ p,q $-二项式系数来定义基函数和算子权重。
• 证明修正后的算子保持常数和线性函数：$ B_{n,p,q}(1;x) = 1 $，$ B_{n,p,q}(t;x) = x $，并推导出第二矩 $ B_{n,p,q}(t^2;x) = \frac{p^{n-1}}{[n]_{p,q}}x + \frac{q[n-1]_{p,q}}{[n]_{p,q}}x^2 $。
• 通过验证前三个矩在 $ n \to \infty $ 时收敛于恒等算子，应用 Korovkin 逼近定理。
• 利用 $ \|B_{n,p_n,q_n}(t^2;x) - x^2\|_{C[0,1]} \leq \frac{2p_n^{n-1}}{[n]_{p_n,q_n}} $ 绑定 $ f(t) = t^2 $ 的一致范数误差，该式在给定极限下趋于零。
• 使用 MATLAB 生成测试函数 $ f(x) = (x-1/3)(x-1/2)(x-3/4) $ 在不同 $ p, q, n $ 条件下的收敛行为的可视化对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 原始的 (p,q)-Bernstein 算子族是否无法保持常数？若是，为何这是关键缺陷？
• RQ2 如何重新定义 (p,q)-Bernstein 算子，以确保 $ B_{n,p,q}(1;x) = 1 $，同时保持正性和线性逼近性质？
• RQ3 对 $ p_n $ 和 $ q_n $ 的何种条件可保证修正后算子对 [0,1] 上连续函数的一致收敛？
• RQ4 修正后算子的收敛速率如何依赖于 $ p_n $、$ q_n $ 和 $ n $，特别是第二矩误差方面？
• RQ5 $ p $-和 $ q $-微积分工具（如 $ [k]_{p,q} $ 和 $ \binom{n}{k}_{p,q} $）在构造修正算子中起到什么作用？

主要发现

• 修正后的 (p,q)-Bernstein 算子满足 $ B_{n,p,q}(1;x) = 1 $，纠正了原始公式中的根本性缺陷。
• 算子保持线性函数：$ B_{n,p,q}(t;x) = x $，确保仿射函数的正确逼近。
• 第二矩被显式计算为 $ B_{n,p,q}(t^2;x) = \frac{p^{n-1}}{[n]_{p,q}}x + \frac{q[n-1]_{p,q}}{[n]_{p,q}}x^2 $，这对收敛性分析至关重要。
• 在 $ \lim_{n\to\infty} p_n = 1 $ 且 $ \lim_{n\to\infty} q_n = 1 $ 的条件下，根据 Korovkin 定理，算子对任意 $ f \in C[0,1] $ 在 [0,1] 上一致收敛于 $ f $。
• 收敛速率被定量界定为 $ \|B_{n,p_n,q_n}(t^2;x) - x^2\|_{C[0,1]} \leq \frac{2p_n^{n-1}}{[n]_{p_n,q_n}} $，当 $ n \to \infty $ 时趋于零。
• 数值实验表明，增加 $ n $、增大 $ q $，或使 $ p, q $ 更接近 1，均可改善对测试函数 $ f(x) = (x-1/3)(x-1/2)(x-3/4) $ 的收敛性。