[论文解读] On (p, q) Baskakov-Durrmeyer-Stancu Operators

Vishnu Narayan Mishra, Shikha Pandey|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文通过在 (p,q)-微积分框架中引入 Stancu 型参数，提出了一类新的 (p,q) Baskakov-Durrmeyer-Stancu 算子，增强了逼近的灵活性。建立了局部与全局收敛结果，包括 Lipschitz 函数的收敛速率和加权逼近，数值结果验证了收敛行为。

ABSTRACT

In the present paper, we introduce the generalized form of $(p,q)$ Baskakov-Durrmeyer Operators with Stancu type parameters. We derived the local and global approximation properties of these operators and obtained the convergence rate and behaviour for the Lipschitz functions. Moreover, we give comparisons and some illustrative graphics for the convergence of operators to some function.

研究动机与目标

• 通过在 (p,q) Baskakov-Durrmeyer 算子中引入 Stancu 型参数 α 和 β，实现其推广，以提升逼近的灵活性。
• 在 (p,q)-微积分背景下，研究新算子的局部与全局逼近性质。
• 建立 Lipschitz 类函数的收敛速率，并分析在 [0, ∞) 上的加权逼近。
• 通过图形比较展示特定参数选择与测试函数下的收敛行为。

提出的方法

• 提出一种基于 (p,q)-整数和 (p,q)-微积分的新线性正算子，其函数参数中引入了 Stancu 型参数 α 和 β。
• 利用 (p,q)-整数推导算子的矩公式，包括一阶与二阶矩的显式表达式。
• 采用 Kantorovich 型方法和加权模连续性分析收敛速率与全局逼近。
• 应用 Korovkin 定理与 (p,q)-微积分恒等式，证明在紧区间上的一致收敛性及在 [0, ∞) 上的加权收敛性。
• 利用 Cauchy-Schwarz 不等式与矩估计，将逼近误差以模连续性形式有界。
• 通过 f(x) = cos(x²) 的数值模拟，可视化不同 n 值下的收敛行为，其中 p=0.9, q=0.8, α=0.1, β=0.5。

实验结果

研究问题

• RQ1 Stancu 型参数 α 和 β 如何影响 (p,q) Baskakov-Durrmeyer 算子的逼近性质？
• RQ2 新算子在 Lipschitz 类函数上的收敛速率是多少？
• RQ3 新算子能否在无界区间 [0, ∞) 上实现加权逼近？
• RQ4 算子的矩如何影响其收敛行为？
• RQ5 数值模拟在多大程度上验证了理论收敛结果？

主要发现

• 算子保持常数函数不变，其矩以 p, q, n, α, β 为参数显式导出。
• 二阶矩被有界于 γ*(n)(1 + x²)，其中当 n → ∞ 时 γ*(n) → 0，确保收敛性。
• 全局逼近误差被有界于 ν(1 + x²+λ)Ω(f;√γ*(n))，表明在加权范数下收敛。
• Lipschitz 函数的收敛速率为 O(√γ*(n))，其中 γ*(n) 依赖于 p, q, n, α, β。
• 数值结果证实，当 n = 100 和 n = 98 时，算子收敛于 f(x) = cos(x²)，参数为 p=0.9, q=0.8, α=0.1, β=0.5。
• 对于 f ∈ C*x²[0, ∞)，加权逼近结果成立，且误差随 n 增加而一致衰减。