[论文解读] On p-torsion of p-adic elliptic curves with additive reduction

René Pannekoek|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 9

一句话总结

本文确定了具有奇约化（additive reduction）的椭圆曲线在 $ p $-进数域上的 $ p $-进点群 $ E_0(\bQ_p) $ 的拓扑结构，表明其同构于 $ \bZ_p $，除非在 $ p = 2, 3, 5, 7 $ 的四个例外情形下，此时同构于 $ p\bZ_p \times \bF_p $。该结果通过形式群律和对曲线形式群上乘以 $ p $ 映射的赋值分析推导得出。

ABSTRACT

Let E be an elliptic curve with additive reduction over the p-adic numbers, and let G be the group of p-adic points on E that have good reduction. This paper gives necessary and sufficient conditions for G to contain non-trivial p-torsion.

研究动机与目标

• 确定具有奇约化椭圆曲线的 $ E_0(\bQ_p) $（即在约化曲线中映射到非奇异点的 $ p $-进点子群）的拓扑群结构。
• 确定在 $ \bZ_p $ 上极小 Weierstrass 方程的系数满足何种精确条件时，$ E_0(\bQ_p) $ 不与 $ \bZ_p $ 同构。
• 将经典形式群理论推广，以分析滤链 $ E_0(\bQ_p) \triangleright E_1(\bQ_p) \triangleright \text{等} $，并确定商群 $ E_0(\bQ_p)/E_1(\bQ_p) $ 是否非典范分裂。
• 提供 $ \bQ $ 上椭圆曲线的显式例子，其在 $ p \neq 2,3,5,7 $ 时具有奇约化，且满足 $ E_0(\bQ_p) \not\to \bZ_p $，并构造具有有理 $ p $-挠点且约化为好的椭圆曲线。
• 通过考虑具有尖点特殊纤维的 $ \bZ_p $ 上的 Weierstrass 曲线（而不仅限于具有奇约化的椭圆曲线），推广文献中的已有结果。

提出的方法

• 使用标准滤链 $ E_0(\bQ_p) \triangleright E_1(\bQ_p) \triangleright \text{等} $，其中每个商群 $ E_n/E_{n+1} \to \bF_p $，并应用形式群理论，通过形式对数将 $ E_2(\bQ_p) $ 识别为 $ p^2\bZ_p $。
• 对于 $ p > 2 $，利用存在自然同构 $ j': E_1(\bQ_p) \to p\bZ_p $，并通过分析形式群上乘以 $ p $ 映射的行为，将其延拓至 $ E_0(\bQ_p) $。
• 对形式群 $ \tE $ 上乘以 $ p $ 映射 $[p](T)$ 的幂级数展开进行赋值理论分析，聚焦于最低次项，以判断 $[p](z) $ 的赋值是否为 1。
• 将问题约化为检查模 $ p^2 $ 的某些系数条件是否成立：$ p=2 $ 时 $ a_1 + a_3 \not\to 2 \bmod 4 $，$ p=3 $ 时 $ a_2 \not\to 6 \bmod 9 $，$ p=5 $ 时 $ a_4 \not\to 10 \bmod 25 $，$ p=7 $ 时 $ a_6 \not\to 14 \bmod 49 $。
• 利用 $ z \to z^p \bmod p $ 在 $ \bZ_p $ 中成立的事实，将赋值条件 $ v_p([p](z)) = 1 $ 简化为对系数的同余条件。
• 将推论 7 应用于正合列 $ 0 \to p\bZ_p \to E_0(\bQ_p) \to \bF_p \to 0 $，表明该扩张当且仅当赋值条件不成立时分裂。

实验结果

研究问题

• RQ1 当具有奇约化的椭圆曲线定义在 $ \bQ_p $ 上时，其 $ p $-进点群 $ E_0(\bQ_p) $ 作为拓扑群何时同构于 $ \bZ_p $？
• RQ2 在 $ \bZ_p $ 上的极小 Weierstrass 模型中，哪些精确的系数条件会导致 $ E_0(\bQ_p) $ 不与 $ \bZ_p $ 同构，而与 $ p\bZ_p \times \bF_p $ 同构？
• RQ3 椭圆曲线的形式群律的结构如何影响滤链商群 $ E_0(\bQ_p)/E_1(\bQ_p) $ 的分裂性？
• RQ4 对于 $ p \neq 2,3,5,7 $，$ E_0(\bQ_p) $ 是否总是同构于 $ \bZ_p $？为何例外情形仅出现在这些素数？
• RQ5 能否构造 $ \bQ $ 上的椭圆曲线，使其在 $ p $ 处具有奇约化，且存在定义在 $ \bQ $ 上的 $ p $-挠点，且该点属于 $ E_0(\bQ_p) $？

主要发现

• 当 $ p > 7 $ 时，若所有系数 $ a_i \to 0 \bmod p $，则 $ E_0(\bQ_p) $ 同胚于 $ \bZ_p $，且该同构通过形式对数是典范的。
• 当 $ p = 2 $ 时，若 $ a_1 + a_3 \to 2 \bmod 4 $，则 $ E_0(\bQ_2) \not\to \bZ_2 $，此时同构于 $ 2\bZ_2 \times \bF_2 $，且 $ \bF_2 $ 具有离散拓扑。
• 当 $ p = 3 $ 时，若 $ a_2 \to 6 \bmod 9 $，则 $ E_0(\bQ_3) \not\to \bZ_3 $，此时同构于 $ 3\bZ_3 \times \bF_3 $。
• 当 $ p = 5 $ 时，若 $ a_4 \to 10 \bmod 25 $，则 $ E_0(\bQ_5) \not\to \bZ_5 $，此时同构于 $ 5\bZ_5 \times \bF_5 $。
• 当 $ p = 7 $ 时，若 $ a_6 \to 14 \bmod 49 $，则 $ E_0(\bQ_7) \not\to \bZ_7 $，此时同构于 $ 7\bZ_7 \times \bF_7 $。
• 本文提供了 $ \bQ $ 上椭圆曲线的显式例子，其在 $ p = 2,3,5,7 $ 处具有奇约化，且每个曲线均具有定义在 $ \bQ $ 上的有理 $ p $-挠点，且该点属于 $ E_0(\bQ_p) $，从而验证了例外情形。