[论文解读] On parabolic and elliptic equations with singular or degenerate coefficients

Hongjie Dong, Tuoc Phan|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 8

一句话总结

本文建立了上半空间中具有形式 $x_d^\alpha$ 的奇异或退化系数的抛物型与椭圆型方程解的存在性、唯一性及正则性，其中 $\alpha \in (-1, \infty)$。通过加权索伯列夫空间与混合范数加权索伯列夫空间，作者在系数的正则性假设最小的条件下，证明了局部边界加权估计与 Calderón-Zygmund 型估计，将经典结果推广至 Muckenhoupt $A_2$ 条件不成立的情形。

ABSTRACT

We study both divergence and non-divergence form parabolic and elliptic equations in the half space $\{x_d>0\}$ whose coefficients are the product of $x_d^α$ and uniformly nondegenerate bounded measurable matrix-valued functions, where $α\in (-1, \infty)$. As such, the coefficients are singular or degenerate near the boundary of the half space. For equations with the conormal or Neumann boundary condition, we prove the existence, uniqueness, and regularity of solutions in weighted Sobolev spaces and mixed-norm weighted Sobolev spaces when the coefficients are only measurable in the $x_d$ direction and have small mean oscillation in the other directions in small cylinders. Our results are new even in the special case when the coefficients are constants, and they are reduced to the classical results when $α=0$

研究动机与目标

• 建立具有在边界处奇异或退化、具体形式为 $x_d^\alpha$ 且 $\alpha \in (-1, \infty)$ 的系数的抛物型与椭圆型方程解的存在性、唯一性与正则性。
• 将经典的 Calderón-Zygmund 理论推广至权重 $x_d^\alpha$ 不满足 Muckenhoupt $A_2$ 条件（当 $\alpha \geq 1$ 时）的方程情形。
• 在系数光滑性假设最小的条件下，分析加权索伯列夫空间与混合范数加权索伯列夫空间中的法向量与诺伊曼边界值问题。
• 为具有 $x_d^\alpha$-加权系数的散度型与非散度型方程，提供解的局部边界加权估计。
• 将结果推广至具有主导系数结构条件的非散度型方程，包括分数阶热方程与拉普拉斯方程以及数学金融中的应用。

提出的方法

• 作者使用关于测度 $x_d^\alpha \, dz$ 的加权索伯列夫空间，以处理边界附近奇异或退化的系数。
• 通过在混合范数加权索伯列夫空间中利用先验估计，结合反向 Hölder 不等式与加权 Fefferman–Stein 及 Hardy–Littlewood 极大函数定理，建立局部边界加权估计。
• 对于散度型方程，分析依赖于共轭边界条件 $\lim_{x_d \to 0^+} x_d^\alpha (a_{dj} D_j u - F_d) = 0$，以确保在加权设定下弱解的定义良好。
• 对于非散度型方程，作者施加结构条件如 $a_{dj} = 0$ 或 $a_{dj} = \lambda_j a_{dd}$，这些条件允许在变量替换后转化为类似散度的结构。
• 关键技术包括小圆柱体内分解与平均振荡估计，结合使用递增指数 $p_j$ 的提升论证，将 $L^p$ 正则性从 $p_0$ 扩展至任意 $p > p_0$。
• 证明依赖于从加权 $L^p$ 估计导出的先验估计，以及使用截断函数 $\eta$ 局域化解并应用加权 $W^{1,2}_p$ 空间中的可解性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\alpha \geq 1$ 时，权重 $x_d^\alpha$ 不满足 Muckenhoupt $A_2$ 条件，是否仍可建立具有 $x_d^\alpha$ 系数的抛物型与椭圆型方程解的存在性、唯一性与正则性？
• RQ2 在何种函数空间中——特别是加权与混合范数索伯列夫空间——此类方程的解存在且具有正则性？
• RQ3 在系数正则性假设最小的条件下，具有 $x_d^\alpha$-加权系数的散度型与非散度型方程的局部边界加权估计行为如何？
• RQ4 是否可将 Calderón-Zygmund 型估计推广至仅在法向方向可测、且在切向方向具有小平均振荡的退化系数方程？
• RQ5 结构条件 $a_{dj} = \lambda_j a_{dd}$ 在分析具有奇异权重的非散度型方程中起到何种作用？

主要发现

• 对于模型方程 $x_d^\alpha u_t - \textup{div}[x_d^\alpha(\nabla u - F)] = x_d^\alpha f$ 在 $Q_2^+$ 上，本文证明了局部边界加权估计 $$\left(\int_{Q_1^+} (|u|^p + |Du|^p) x_d^\alpha \, dz\right)^{1/p} \leq N \int_{Q_2^+} (|u| + |Du|) x_d^\alpha \, dz + N \left(\int_{Q_2^+} |F|^p x_d^\alpha \, dz\right)^{1/p} + N \left(\int_{Q_2^+} |f|^{p^*} x_d^\alpha \, dz\right)^{1/p^*}$$ 对所有 $p \in (1, \infty)$ 成立，其中 $p^* \in [1, p)$ 依赖于 $\alpha$、$p$ 与 $d$。
• 作者在加权混合范数索伯列夫空间中为散度型与非散度型方程建立了先验估计，即使系数仅在 $x_d$ 方向可测且在其他方向具有小平均振荡。
• 通过基于先验估计 (2.4) 与定理 2.2 中可解性结果的逼近论证，证明了在加权混合范数索伯列夫空间中的可解性。
• 对于非散度型方程，本文证明：若 $a_{dj} = 0$ 或 $a_{dj} = \lambda_j a_{dd}$，则方程 $a_0 u_t - a_{ij} D_{ij} u - \frac{\alpha}{x_d} a_{dj} D_j u + \lambda c_0 u = f$ 在适当的 $a_0, c_0$ 与 $p$ 假设下，结合诺伊曼型边界条件 $\lim_{x_d \to 0^+} x_d^\alpha a_{dj} D_j u = 0$，在 $W^{1,2}_p$ 中存在唯一解。
• 本文提出一种提升论证，使用指数序列 $p_j$ 满足 $(d+3+\alpha_+)/p_{j-1} < 1 + (d+3+\alpha_+)/p_j$，实现从 $p_0$ 到任意 $p > p_0$ 的 $L^p$ 正则性扩展，最终导出推论 2.9 中的估计 (2.7)。
• 即使在常系数情形，结果也属新发现，且当 $\alpha = 0$ 时推广了经典结果，将理论扩展至更广泛的退化与奇异 PDE 类，具有在分数阶 PDE 与数学金融中的应用。