[论文解读] On Parameter Estimation of Threshold Autoregressive Models

Ngai Hang Chan, Yury A. Kutoyants|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2010

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于阈值自回归（TAR）模型中阈值参数的贝叶斯估计框架，结合连续时间扩散近似与极限似然比理论。该研究建立了贝叶斯估计量的一致性、渐近正态性及矩收敛性，其极限分布可通过显式模拟计算，从而实现对非线性时间序列阈值的稳健推断。

ABSTRACT

This paper studies the threshold estimation of a TAR model when the underlying threshold parameter is a random variable. It is shown that the Bayesian estimator is consistent and its limit distribution is expressed in terms of a limit likelihood ratio. Furthermore, convergence of moments of the estimators is also established. The limit distribution can be computed via explicit simulations from which testing and inference for the threshold parameter can be conducted. The obtained results are illustrated with numerical simulations.

研究动机与目标

• 开发针对阈值自回归（TAR）模型中阈值参数的贝叶斯估计与最大似然估计的一般渐近理论。
• 在非标准渐近框架下，建立贝叶斯估计量的一致性与矩收敛性。
• 提出一种计算可行的方法，通过复合泊松过程模拟阈值估计量的极限分布。
• 将现有非线性时间序列中的非标准渐近技术统一至基于扩散过程的框架下。
• 通过极限似然比的显式模拟，实现对阈值参数的实际假设检验与推断。

提出的方法

• 作者将阈值自回归过程建模为连续时间扩散过程，将时间序列的平稳密度与极限复合泊松过程的强度联系起来。
• 利用极限似然比推导贝叶斯估计量的极限分布，该分布以受复合泊松过程驱动的跳跃随机过程表示。
• 该方法涉及求解平稳密度的积分方程，并将其与极限过程的强度关联，以显式计算极限似然。
• 通过模拟计算极限分布，实现对阈值推断的临界值与p值的数值评估。
• 该方法被扩展至单边阈值情形，并在正则条件下推广至非高斯噪声。
• 理论结果基于随机过程理论，特别是有限维分布的收敛性与紧参数集上的一致矩收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非标准渐近条件下，TAR模型中阈值参数的贝叶斯估计量是否可证明具有一致性与渐近正态性？
• RQ2 如何显式计算贝叶斯估计量极限分布以支持实际推断？
• RQ3 在阈值估计背景下，极限似然比与极限复合泊松过程之间存在何种关系？
• RQ4 能否在紧参数集上统一证明贝叶斯估计量的矩收敛性？
• RQ5 所提出的方法如何推广至非高斯误差分布与单边阈值模型？

主要发现

• 贝叶斯估计量对阈值参数具有一致性，其极限分布由极限似然比刻画，可通过模拟显式计算。
• 建立了贝叶斯估计量二阶矩的收敛性，且在奇异估计问题中，其极限方差小于最大似然估计量的方差。
• 估计量的极限分布来源于强度与阈值处平稳密度成正比的复合泊松过程，$ \lambda = 2f(\vartheta, \vartheta) $。
• 通过证明其极限方差达到风险下界，确认了贝叶斯估计量的渐近效率，该下界表示为$ \mathbb{E}_{\vartheta_0}(\tilde{u})^2 $。
• 该方法支持实际推断：通过模拟极限过程，可计算阈值检验的临界值与p值。
• 该框架可推广至非高斯创新与单边阈值模型，其类似极限分布可由同一理论工具推导得出。