[论文解读] On parametric Thue-Morse Sequences and Lacunary Trigonometric Products

Christoph Aistleitner, Roswitha Hofer+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2015

Mathematical Approximation and Integration参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文通过将指数和与Thue–Morse序列在模1下的不均匀性联系到形如 $\prod_{\ell=0}^L |\sin \pi 2^\ell \alpha|$ 的间隙三角函数积，建立了其精确的度量估计。研究证明，对几乎所有 $\alpha$，$\{n_k \alpha\}$ 的不均匀性以 $N^{-0.6178775}$ 的速率增长，并提供了显式界限以及与度量丢番图逼近的联系，从而解决了该序列在均匀分布理论中长期存在的难题。

ABSTRACT

One of the fundamental theorems of uniform distribution theory states that the fractional parts of the sequence $(n α)_{n \geq 1}$ are uniformly distributed modulo one (u.d. mod 1) for every irrational number $α$. Another important result of Weyl states that for every sequence $(n_k)_{k \geq 1}$ of distinct positive integers the sequence of fractional parts of $(n_k α)_{k \geq 1}$ is u.d. mod 1 for almost all $α$. However, in this general case it is usually extremely difficult to classify those $α$ for which uniform distribution occurs, and to measure the speed of convergence of the empirical distribution of $(\{n_1 α\}, ..., \{n_N α\})$ towards the uniform distribution. In the present paper we investigate this problem in the case when $(n_k)_{k \geq 1}$ is the Thue--Morse sequence of integers, which means the sequence of positive integers having an even sum of digits in base 2. In particular we utilize a connection with lacunary trigonometric products $\prod^{L}_{\ell=0} |\sin π2^{\ell} α|$, and by giving sharp metric estimates for such products we derive sharp metric estimates for exponential sums of $(n_{k} α)_{k \geq 1}$ and for the discrepancy of $(\{n_{k} α\})_{k \geq 1}.$ Furthermore, we comment on the connection between our results and an open problem in the metric theory of Diophantine approximation, and we provide some explicit examples of numbers $α$ for which we can give estimates for the discrepancy of $(\{n_{k} α\})_{k \geq1}$.

研究动机与目标

• 分析无理数 $\alpha$ 下Thue–Morse序列 $\{n_k \alpha\}$ 的不均匀性与指数和。
• 通过与间隙三角函数积的联系，为Thue–Morse–Kronecker序列的不均匀性与指数和建立精确的度量估计。
• 研究不均匀性对 $\alpha$ 的丢番图逼近性质与二进制数字结构的依赖关系。
• 将结果与度量丢番图逼近中的开放问题相联系，特别是可测集的广义Borel–Cantelli问题。

提出的方法

• 使用间隙三角函数积 $\prod_{\ell=0}^L |\sin \pi 2^\ell \alpha|$ 作为关键分析工具，以控制指数和与不均匀性。
• 应用度量数论技术，包括Borel–Cantelli论证与测度估计，推导出对几乎所有 $\alpha$ 的界限。
• 通过块频率分析与数字模式的递归分解，利用Thue–Morse序列的自相似结构。
• 通过Thue–Morse序列中8-块的频率分布，推导出乘积 $\prod_{\ell=0}^L |2\sin \pi 2^\ell \gamma|$ 的上下界。
• 运用Weyl准则与Koksma不等式，将指数和与不均匀性联系起来，实现定量估计。
• 将不均匀性问题约化为对间隙积增长速率的分析，借助已知的三角函数积及其度量行为结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于几乎所有 $\alpha$，Thue–Morse–Kronecker序列 $\{n_k \alpha\}$ 的不均匀性 $D_N^*$ 的精确度量衰减速率是什么？
• RQ2 在 $L^2$ 意义下，对几乎所有 $\alpha$，指数和 $\sum_{k=1}^N e^{2\pi i n_k \alpha}$ 如何表现？它们与间隙三角函数积有何关联？
• RQ3 能否利用Thue–Morse序列的结构及其在二进制下的数字表示，推导出不均匀性的精确度量估计？
• RQ4 Thue–Morse序列的不均匀性与度量丢番图逼近中的开放问题（特别是广义Borel–Cantelli问题）之间存在何种联系？

主要发现

• 对几乎所有 $\alpha$，Thue–Morse–Kronecker序列的不均匀性满足 $N D_N^* \asymp N^{0.6178775}$，其中指数由Thue–Morse序列中8-块的频率导出。
• 对于大的 $L$，间隙积 $\prod_{\ell=0}^L |2\sin \pi 2^\ell \gamma|$ 的值介于 $N^{0.6178775}$ 与 $N^{0.6178777}$ 之间，其中 $N = 2^L$。
• 本文通过将指数和与间隙三角函数积的增长联系起来，为 $\{n_k \alpha\}$ 的指数和建立了精确的度量估计。
• 提供了基于 $\alpha$ 的二进制数字结构与丢番图逼近性质的显式 $\alpha$ 例子，使得 $\{n_k \alpha\}$ 的不均匀性可被估计。
• 结果与度量丢番图逼近中的一个开放问题相联系：在何种条件下，对于可测集 $A_n \subset [0,1]$，有 $\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}_{A_n}(n\alpha) = \infty$ 几乎处处成立？