[论文解读] On Parsimonious Explanations for 2-D Tree- and Linearly-Ordered Data

Howard Karloff, Flip Korn+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2011

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文研究了按树结构或线性序列排序的2D矩阵数据的简约解释问题，提出近似算法将矩阵表示为源自分层或连续行/列子集的加权矩形的稀疏和。针对树序数据，提出一种随机化2-近似算法；针对线性序数据，提出$2.56$-近似算法，首次为使用矩形进行精确稀疏矩阵表示的NP难问题提供了已知的近似保证。

ABSTRACT

This paper studies the "explanation problem" for tree- and linearly-ordered array data, a problem motivated by database applications and recently solved for the one-dimensional tree-ordered case. In this paper, one is given a matrix A whose rows and columns have semantics: special subsets of the rows and special subsets of the columns are meaningful, others are not. A submatrix in A is said to be meaningful if and only if it is the cross product of a meaningful row subset and a meaningful column subset, in which case we call it an "allowed rectangle." The goal is to "explain" A as a sparse sum of weighted allowed rectangles. Specifically, we wish to find as few weighted allowed rectangles as possible such that, for all i,j, a_{ij} equals the sum of the weights of all rectangles which include cell (i,j). In this paper we consider the natural cases in which the matrix dimensions are tree-ordered or linearly-ordered. In the tree-ordered case, we are given a rooted tree T1 whose leaves are the rows of A and another, T2, whose leaves are the columns. Nodes of the trees correspond in an obvious way to the sets of their leaf descendants. In the linearly-ordered case, a set of rows or columns is meaningful if and only if it is contiguous. For tree-ordered data, we prove the explanation problem NP-Hard and give a randomized 2-approximation algorithm for it. For linearly-ordered data, we prove the explanation problem NP-Hard and give a 2.56-approximation algorithm. To our knowledge, these are the first results for the problem of sparsely and exactly representing matrices by weighted rectangles.

研究动机与目标

• 为基于分层（树序）或连续（线性序）行与列子集的2D矩阵数据，建立并求解使用最少加权矩形进行解释的问题。
• 最小化将矩阵表示为这些矩形之和时的非零权重数量，偏好简洁、可解释的解释，而非平凡的满秩分解。
• 在树序与线性序设置下，为使用允许矩形的稀疏精确矩阵表示这一NP难问题，建立理论近似界。
• 设计高效的多项式时间算法，为两种问题变体均实现可证明的良好近似比。

提出的方法

• 对于树序数据，方法基于一种基于原始对偶方法的随机化2-近似算法，利用树的分层结构定义允许的矩形为节点后代集合的笛卡尔积。
• 对于线性序数据，方法将二维问题简化为沿水平网格线求解多个一维零权划分问题，使用近似比为$23/18 + O(\varepsilon)$的一维近似算法。
• 该算法构建从每个选定行延伸至最后一行的矩形，使用一维解的上边界，并将下边界固定在最后一行以确保覆盖且减少冗余。
• 通过证明减去所有矩形权重后的残差矩阵具有零二阶差分，从而证明正确性，这意味着若首个非零元素为零，则所有元素均为零。
• 该算法使用一维中仅涉及对与三元组的简化变体，实现一维$4/3$-近似，从而在二维中得到$8/3 \approx 2.67$-近似，同时显著提升运行时间。
• 运行时间受$O(n^2 + OPT \cdot n \log n)$限制，其中$OPT$为最优解的大小，利用$x^2 \log x$的凸性来界定角点计数平方和。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将2D矩阵表示为源自树序行与列层次结构的加权矩形的稀疏和，其计算复杂度如何？
• RQ2 能否为树序矩阵解释问题设计常数因子近似算法，其最佳可实现的近似比是多少？
• RQ3 当矩阵结构由线性序（即连续区间）替代树序时，近似比如何变化？
• RQ4 能否通过沿网格线利用一维子问题，为线性序情况设计更高效的算法？
• RQ5 当使用简化的一维算法而非高精度算法时，近似比与运行时间之间的权衡如何？

主要发现

• 树序矩阵解释问题是NP难的，本文提出一种随机化2-近似算法，这是该变体的首个已知近似算法。
• 对于线性序数据，本文实现了$23/9 + O(\varepsilon) \approx 2.56$-近似，优于使用简化一维算法得到的朴素$2.67$-近似。
• 线性序数据的算法通过将问题约化为沿水平网格线的一维零权划分问题，使用$23/18 + O(\varepsilon)$-近似算法求解每个子问题。
• 通过证明减去所有矩形权重后的残差矩阵具有零二阶差分，从而证明了算法的正确性，这意味着若首个非零元素为零，则所有元素均为零。
• 使用仅对与三元组的一维简化算法，可在一维中实现$4/3$-近似，从而在二维中得到$8/3 \approx 2.67$-近似，且运行时间显著提升。
• 运行时间受$O(n^2 + OPT \cdot n \log n)$限制，其中$OPT$为最优解的大小，这是由于行间平方角点计数之和的凸性所致。