[论文解读] On Partial Vertex Cover on Bipartite Graphs and Trees

Bugra Caskurlu, K. Subramani|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2013

Graph theory and applications参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文通过引入并利用边际非递增覆盖（MNC）性质，证明了部分点覆盖（PVC）问题在二分图上为 NP-难问题，但在树和最大度为 3 的二分图上为多项式时间可解问题。作者证明了树和有界度二分图满足 MNC 性质，从而使得在这些图类上能够设计出高效的 PVC 算法。

ABSTRACT

It is well-known that the Vertex Cover problem is in P on bipartite graphs, however; the computational complexity of the Partial Vertex Cover problem on bipartite graphs is open. In this paper, we first show that the Partial Vertex Cover problem is NP-hard on bipartite graphs. We then identify an interesting special case of bipartite graphs, for which the Partial Vertex Cover problem can be solved in polynomial-time. We also show that the set of acyclic bipartite graphs, i.e., forests, and the set of bipartite graph where the degree of each vertex is at most 3 fall into that special case. Therefore, we prove that the Partial Vertex Cover problem is in P on trees, and it is also in P on the set of bipartite graphs where the degree of each vertex is at most 3.

研究动机与目标

• 解决部分点覆盖（PVC）问题在二分图上的开放计算复杂性问题。
• 识别使 PVC 在二分图和树上可多项式时间求解的图结构特性。
• 确立边际非递增覆盖（MNC）性质作为 PVC 多项式时间可解性的充分条件。
• 分析将 MNC 性质推广至点权树时的局限性。
• 探索在二分图和树上改进 PVC 近似算法的潜力。

提出的方法

• 通过从 CLIQUE 问题的归约，证明了 PVC 在二分图上为 NP-难问题。
• 引入边际非递增覆盖（MNC）性质作为确保 PVC 多项式时间可解性的结构条件。
• 证明了树满足 MNC 性质，从而表明 PVC 在树上属于 P 类。
• 证明了最大点度为 3 的二分图满足 MNC 性质，从而表明 PVC 在该类图上属于 P 类。
• 使用组合论证和边计数方法，表明度约束可防止破坏 MNC 性质的特定配置出现。
• 给出反例表明，即使点权限定在 {1,2}，MNC 性质在点权树上也不成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 部分点覆盖问题在二分图上是否为 NP-难问题？
• RQ2 边际非递增覆盖（MNC）性质是否刻画了二分图上 PVC 多项式时间可解性的特征？
• RQ3 是否存在特定图类（如树或有界度二分图）使得 PVC 可在多项式时间内求解？
• RQ4 MNC 性质是否可推广至点权树？若不能，原因是什么？
• RQ5 能否将二分图上 PVC 的近似比改进至 4/3 以下？

主要发现

• 通过从 CLIQUE 问题的归约，证明了部分点覆盖问题在二分图上为 NP-难问题。
• 由于树满足边际非递增覆盖（MNC）性质，PVC 问题在树上为多项式时间可解。
• 由于最大度为 3 的二分图满足 MNC 性质，PVC 问题在该类图上为多项式时间可解。
• 即使点权限定在 {1,2}，MNC 性质在点权树上也不成立，反例已给出。
• 在反例中，连续解规模之间的边覆盖增益差异违反了 MNC 条件，具体表现为 OPT_T(3) - OPT_T(2) > OPT_T(2) - OPT_T(1)。
• 目前 PVC 的最佳已知近似比仍为 (4/3 + ε)，将该比值改进至 4/3 以下被确定为一个有前景的研究方向。