[论文解读] On Path diagrams and Stirling permutations

Markus Kuba, Anna Varvak|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 24被引用 5

一句话总结

该论文将局部类型（峰、谷、双升、双降）的概念从普通排列推广至 $k$-Stirling 排列，建立了 $k$-Stirling 排列中的局部类型与 $(k+1)$-叉递增树中节点类型的双射。通过基于 Łukasiewicz 路径导出的路径图，引入了 $k$-Stirling 排列生成函数的分枝连分数表示，推广了 Flajolet 对排列的连分数表示，并为该生成函数提供了至少三种不同的分枝连分数展开形式。

ABSTRACT

A permutation can be locally classified according to the four local types: peaks, valleys, double rises and double falls. The corresponding classification of binary increasing trees uses four different types of nodes. Flajolet demonstrated the continued fraction representation of the generating function of local types, using a classical bijection between permutations, binary increasing trees, and suitably defined path diagrams induced by Motzkin paths. The aim of this article is to extend the notion of local types from permutations to $k$-Stirling permutations (also known as $k$-multipermutations). We establish a bijection of these local types to node types of $(k+1)$-ary increasing trees. We present a branched continued fraction representation of the generating function of these local types through a bijection with path diagrams induced by Łukasiewicz paths, generalizing the results from permutations to arbitrary $k$-Stirling permutations. We further show that the generating function of ordinary Stirling permutation has at least three branched continued fraction representations, using correspondences between non-standard increasing trees, $k$-Stirling permutations and path diagrams.

研究动机与目标

• 将普通排列中的局部类型（峰、谷、双升、双降）的概念推广至 $k$-Stirling 排列。
• 在 $k$-Stirling 排列的局部类型与 $(k+1)$-叉递增树的节点类型之间建立双射。
• 通过基于 Łukasiewicz 路径诱导的路径图，推导 $k$-Stirling 排列生成函数的分枝连分数表示。
• 证明普通 Stirling 排列的生成函数可通过不同树结构与路径图对应关系，至少存在三种不同的分枝连分数表示。

提出的方法

• 将 $k$-Stirling 排列定义为多重集 $\{1^k, 2^k, \dots, n^k\}$ 的排列，其中两个 $i$ 之间出现的元素均大于 $i$，推广了普通排列（$k=1$）与 Stirling 排列（$k=2$）。
• 通过深度优先遍历与边标记，利用分隔墙与节点标签编码多重集结构，建立 $k$-Stirling 排列与 $(k+1)$-叉递增树之间的双射。
• 引入基于 Łukasiewicz 路径的路径图，其中步长对应树构建操作：上升步长（$a^\ell_j$）与下降步长（$b_j$），并引入可能函数为路径选择分配组合权重。
• 定义可能函数 $\operatorname{pos}(\cdot)$，为根部上升步长分配 $\binom{\ell+k+2}{k+1}$，为内部上升步长分配 $\binom{\ell+k}{k-1} \cdot (j+1)$，为下降步长分配 $j+1$，从而实现通过生成函数进行计数。
• 通过将路径图构造过程编码为具有加权转移的递归结构，构建 $k$-Stirling 排列生成函数的分枝连分数。
• 通过将不同树族（$(k+1)$-叉递增树、非标准递增树 $\mathcal{V}(k)$、基于序列的族 $\mathcal{U}_{n+1}(k-1)$）与路径图对应，展示 $k$-Stirling 排列生成函数存在至少三种不同的分枝连分数表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将排列的局部类型分类（峰、谷、双升、双降）推广至 $k$-Stirling 排列？
• RQ2 $k$-Stirling 排列中的局部类型与 $(k+1)$-叉递增树中的节点类型之间存在何种对应关系？
• RQ3 能否基于基于 Łukasiewicz 路径的路径图，为 $k$-Stirling 排列的生成函数推导出分枝连分数表示？
• RQ4 普通 $k$-Stirling 排列的生成函数存在多少种不同的分枝连分数表示？其背后的组合结构是什么？

主要发现

• 该论文建立了 $k$-Stirling 排列与 $(k+1)$-叉递增树之间的双射，推广了排列与二叉递增树之间的经典对应关系。
• $k$-Stirling 排列中的局部类型与 $(k+1)$-叉递增树中的节点类型之间存在双射对应，推广了 Flajolet 的局部类型分类。
• 通过基于 Łukasiewicz 路径诱导的路径图与定义的可能函数，推导出 $k$-Stirling 排列生成函数的分枝连分数表示。
• 普通 Stirling 排列（$k=2$）的生成函数至少存在三种不同的分枝连分数展开，分别对应于不同的树族与路径图族。
• 非标准递增树族 $\mathcal{V}(k)$ 的度权生成函数为 $\varphi(t) = (1-t)^{-(k+2)}$（非根节点），$\vartheta(t) = (1-t)^{-k}$（根节点），且与 $(k+1)$-Stirling 排列及 $(k+2)$-叉递增树之间存在双射。
• 推论 2 确认了 $k$-Stirling 排列生成函数至少存在三种不同的分枝连分数展开，分别源于三种不同的组合家族：$(k+1)$-叉树、非标准树 $\mathcal{V}(k)$ 与基于序列的族 $\mathcal{U}_{n+1}(k-1)$。